¿Cómo evitar que la volatilidad sea negativa al aplicar el modelo de Heston?

Question

Al aplicar el modelo de Heston para generar la superficie de volatilidad de la muestra, parte del valor de la volatilidad será negativo. Me pregunto qué hacen normalmente los profesionales con estos valores negativos. ¿Se puede

1. simplemente ignorarla;
2. poner los negativos a 0; o
3. ¿se cuadra, se toman valores absolutos, o algo más?

Answer 1

En primer lugar, para dejarlo claro: el modelo de Heston no genera volatilidad negativa, pero -por ejemplo- una discretización de Euler del modelo de Heston puede generar volatilidad (o varianza) negativa. No es un problema del modelo. Es un problema del esquema numérico.

Si se utiliza un esquema de Euler que genera una volatilidad negativa y luego se utiliza cualquiera de los métodos citados en su pregunta (por ejemplo, la volatilidad del suelo, tomar el valor absoluto de la volatilidad, etc.), entonces se está modificando efectivamente el modelo. En consecuencia, la calidad de la calibración del modelo puede verse afectada, ya que las fórmulas analíticas dejan de ser válidas. Trabajar con una discretización temporal más fina puede curar esto, ya que la probabilidad de llegar a cero se reduce.

Dicho esto, supongo que la pregunta aquí es más bien: ¿Qué esquema numérico debe utilizarse para el modelo de Heston?

Aquí puede ser útil echar un vistazo al documento de Broadi y Kaya:

Broadie, M.; Kaya, O.: Exact Simulation of Stochastic Volatility and other Affine Jump Diffusion Processes. Investigación de operaciones , 2006, Vol.54, No.2, 217-231.

Ver también http://finmath.stanford.edu/seminars/documents/Broadie.pdf

Answer 2

No es necesariamente algo que deba estar mal en su modelo. Inherente a los métodos de discretización de Heston de su dinámica de tiempo continuo es la posibilidad de valores negativos en el proceso de varianza.

Aquí hay un par de soluciones que puedes mirar para "arreglar" tu problema:

• Utilización de diferentes esquemas de Euler, como el esquema de truncamiento completo.
• Reducción de la malla de discretización.
• inversiones de Fourier aproximadas necesarias para simular el proceso de varianza integrada.
• Técnicas de emparejamiento de momentos (por ejemplo, la aproximación de la distribución chi-cuadrado no central por una distribución relacionada cuyos momentos se emparejan (localmente) con los de la distribución exacta).
• Utilización de la interpolación por deriva en lugar de la inversión de Fourier

Answer 3

La volatilidad negativa significa que algo en algún lugar de las líneas algo está inherentemente mal con su modelo, vuelva a comprobar su código y la teoría

Answer 4

Ya hay muchos trabajos sobre discretizaciones de Heston. Uno de sus objetivos es evitar la negatividad. Como ya se ha dicho, la EDE de Heston no tiene soluciones negativas, pero una discretización burda da una varianza negativa con probabilidad positiva.

Si quieres hacer pasos pequeños, entonces usar una aproximación log-normal o la aproximación QE resuelve el problema. Si quieres hacer pasos grandes, nuestro método Chan--Joshi es eficaz.

http://ssrn.com/abstract=1617187

El código se puede descargar de markjoshi.com