¿Cuál es la diferencia entre un proceso aleatorio que se adapte a una filtracion y uno que tenía la martingala de la propiedad. Parece que los dos conceptos son muy similares y que sería útil para la construcción de ejemplos, cuando son las mismas y en que se diferencian.
Respuestas
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Vamos a considerar un proceso aleatorio $X$. Si $X$ es una adaptación del proceso, entonces sabemos que, sin ninguna incertidumbre, a lo que su valor está en el tiempo presente. Esta idea se formaliza con la teoría de la medida.
Por $X$ a ser una martingala, es necesario disponer de la siguiente propiedad: en cualquier momento dado, nuestra mejor estimación del valor en algún momento en el futuro (es decir, de la previsión), es el valor presente. En otras palabras, el actual y los anteriores valores nunca nos hacen creer que hay una tendencia local en el tiempo.
Implícito en esta creencia es la idea de que sabemos lo que el valor presente es. En otras palabras, cada martingala es necesariamente adaptado para el concepto que tiene sentido.
Ejemplos:
- Vamos a $Y_t = t$ ser determinista y creciente. Se adapta pero no es una martingala. Este es el único contraejemplo, ya que la martingala implica adaptado. Pero uno de los otros.
- Deje que $\Omega = \{a,b\}$. vamos a $t \in [0,1,2]$, y dejar $Y_0 = 0, Y_1(a) = 1, Y_2(a) = 0, Y_1(b) = -1, Y_2(b) = 0$. Deje que la filtración de ser la generada por $Y$, de modo que $Y$ es por defecto adaptado. Pero, $Y$ no es una martingala.
KaapstadKwant
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Marco Breitig
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Para un proceso estocástico $\left(X_{t}\right)$ a ser adoptado por una filtración de $\left(\mathcal{F}_{t}\derecho)_{t\T}$ la variable aleatoria $X_{t}$ debe $\mathcal{F}_{t}$-medible para cada $t\T$. Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias $X_{t}$, indexado por algunos set $T$. Cada variable aleatoria es una asignación de una probabilidad en un espacio medible en el espacio. Un espacio medible es un conjunto junto con una colección de subconjuntos de este conjunto que cumplir con ciertas propiedades. Esta colección se llama un $\sigma$-álgebra. Es casi el mismo como una topología, pero una ligera diferencia técnica (contable vs finito intersección de conjuntos pertenecen a la colección). Una topología es esencialmente una colección de bloques abiertos. Para dos topológica del espacio se puede definir una asignación de uno en el otro. Si esta función se respeta la apertura de los conjuntos, es decir, la preimagen de un conjunto abierto es abierto, nos dicen que este mapeo es continua. En la misma luz un $\sigma$-álgebra incluye (sub)establece que son medibles, es decir, no tiene sentido dar un subconjunto de una medida (un volumen). Medibles funciones son funciones donde la preimagen de un conjunto medible es medible. En la Teoría de la Probabilidad nos llame a una función medible de una variable aleatoria.
Como un proceso estocástico es una colección de (diferentes) variables aleatorias, es decir, medibles funciones, una filtración es la secuencia de los diferentes $\sigma$-álgebras de estas variables aleatorias. Por lo que un proceso estocástico es una adaptación a una filtración, si esta filtración hace todo de una sola variable aleatoria medible, de acuerdo a su $\sigma$-álgebra. Espero que esto no era demasiado técnico.
Por otro lado, una martingala es un proceso estocástico con la martingala de la propiedad: $$ \textrm{para todo}\espacio s,t\T \textrm{ a } s\leq t\textrm{ sostiene que }\mathbb{E}_{\mathbb{P}}\left[X_{t}\mid\mathcal{F}_{s}\derecho] = X_{s} espacio\\izquierdo(\mathbb{P}\textrm{-casi seguramente}\derecho) $$ Esta definición de la propiedad depende de la probabilidad de la medida $\mathbb{P}$ y la filtración de $\left(\mathcal{F}_{t}\right)$. Por lo que un proceso estocástico es sólo una martingala con respecto a una filtración de $\left(\mathcal{F}_{t}\right)$ y una probabilidad de medida $\mathbb{P}$ si cumple con la martingala de la propiedad.
Así que la adaptación de la filtración es un bloque de construcción de la definición de una martingala.
