Gráfico de Integral Estocástica

Question

Como podemos representar la integración de $f(x)$ en $[a,b]$ con el gráfico a continuación,

Estaba pensando cómo representar la integral siguiente con $X(t)$ un movimiento browniano, $f(t)$ cualquier función y $t_j = \frac{jt}{n} $ (fuente: Willmot)

Answer 1

¿Es $f$ una función determinística y diferenciable del tiempo? Si es así, escriba $$ fdX = d(fX) - X (df/dt) dt $$ La integral del primer término a la derecha es simplemente el valor terminal, el segundo término se parece a tu gráfico pero será irregular porque $X$ tiene caminos irregulares.

Answer 2

Mejor visualizado en 3D. El 2D funciona para Riemann (cuando el integrador es x, como en dx) pero para Riemann-Stieltjes (cuando el integrador es una función de x, por ejemplo, $\int{f(x)dg(x)}$), la visualización en 3D es más reveladora. También puedes interpretar luego el gráfico 3D en términos de su proyección en 2D.

Cuando el integrador es Browniano, como @ilovevolatility señaló, el $dX(t)$ será muy zigzagueante- puedes visualizar la integral, pero estas zigzagueos hacen que la demostración de convergencia sea difícil. Por lo tanto, por eso se utiliza la interpretación de la integral estocástica en términos de las funciones simples, en lugar de la suma de rectángulos, en la integración estocástica.