Si realmente creyeras la predicción del CAPM de que $ \alpha =0$ y luego imponiendo $ \alpha =0$ en su estimación conduciría de hecho a su segunda fórmula.
¿Los problemas?
- El CAPM no funciona, así que imponer una falsa restricción durante la estimación es problemático.
- En términos más generales, tomar los modelos de factores con extrema seriedad e imponer $ \alpha =0$ en la estimación para ganar eficiencia pierde algo de robustez porque los modelos factoriales son casi seguro al menos algo mal especificados.
Los investigadores empíricos generalmente no restringen una constante a cero durante la estimación.
Modelo 1 (sin constante):
Supongamos que tenemos el siguiente modelo de regresión (sin una constante):
$$ r_{st} - r_{ft} = \beta_1 \left ( r_{mt} - r_{ft} \right ) + \epsilon_t $$
Asumiendo la condición de ortogonalidad $ \operatorname {E} \left [ \epsilon_t \left ( r_{mt} - r_{ft} \right ) \right ] = 0$ Entonces $ \beta_1 $ sería dada por:
$$ \beta_1 = \frac { \operatorname {E} \left [ \left ( r_{st} - r_{ft} \right ) \left (r_{mt} - r_{ft} \right ) \right ] }{ \operatorname {E} \left [ \left (r_{mt} - r_{ft} \right )^2 \right ]}$$
Si realmente tomas la teoría CAPM en serio, entonces hay algo de principios para imponer la restricción $ \alpha = 0$ en la estimación (que es lo que hicimos anteriormente). Citando a Cochrane (2004) con respecto a modelos factoriales más generales con errores normalmente distribuidos, "La estimación de máxima probabilidad de $ \beta $ es la regresión de la OLS sin una constante". Como describe Cochrane, los investigadores no suelen estimar sin una constante porque sacrifica algo de robustez.
Modelo 2 (añadir una constante):
$$ r_{st} - r_{ft} = \alpha_2 + \beta_2 \left ( r_{mt} - r_{ft} \right ) + \epsilon_t $$
Ahora con $ \alpha_2 $ allí y asumiendo las condiciones de ortogonalidad $ \operatorname {E}[ \epsilon_t ] = 0$ y $ \operatorname {E} \left [ \epsilon_t \left ( r_{mt} - r_{ft} \right ) \right ] = 0$ que tienes:
$$ \beta_2 = \frac { \operatorname {Cov} \left ( r_{st} - r_{ft} , r_{mt} - r_{ft} \right ) }{ \operatorname {Var} \left ( r_{mt} - r_{ft} \right )}$$
El Modelo 1 es un caso especial del Modelo 2 donde $ \alpha $ está restringido a 0.
Modelo 3 (si la tasa libre de riesgo no fuera aleatoria):
Si la tasa libre de riesgo no es aleatoria, entonces se retira:
$$ \beta_3 = \frac { \operatorname {Cov} \left ( r_{st}, r_{mt} \right ) }{ \operatorname {Var} \left ( r_{mt} \right )}$$
En períodos como el presente, donde el índice de riesgo es constantemente alrededor de 0, tal vez esta falsa suposición sea inocua. Sin embargo, creo que es algo que se hace a mano, como una introducción al MBA.
Un comentario sobre el CAPM
Tengan en cuenta que el CAPM es una teoría de zombis: hace mucho tiempo muerto a tiros en el mundo académico porque no funciona, el CAPM sigue escondiéndose en la tierra. Citando a Fama y French (2004), "... el registro empírico del modelo es bastante pobre... para invalidar la forma en que se utiliza en las aplicaciones".
Referencias
Cochrane, John. 2005. Precio de los activos , p. 273
Fama, Eugene, F., y Kenneth R. French. 2005. "The Capital Asset Pricing Model": Teoría y evidencia". Journal of Economic Perspectives, 18 (3): 25-46.
