Vamos
\begin{align*}
L(t; T, T + \Delta) = \frac{1}{\Delta} \left[ \frac{P(t,T)}{P(t, T+\Delta)} - 1 \right]
\end{align*}
ser el delantero tasa Libor en vez de $t$ para el período $[T, T+\Delta]$. Considere la posibilidad de una tableta con la rentabilidad en $T+\Delta$ de la forma
\begin{align}
\Delta\max\big(L(T; T, T + \Delta) -K, \, 0 \big) &= \Delta\max\big((L(T; T, T + \Delta)-\alpha) -(K-\alpha), \, 0 \big) \etiqueta{1}
\end{align}
Suponemos que
\begin{align*}
L(t; T, T + \Delta) = \hat{L}(t; T, T + \Delta) + \alpha, \quad 0 < t \le T,
\end{align*}
donde el proceso de $\hat{L} = \{ \hat{L}(t; T, T + \Delta) \, | \, 0 < t \le T\}$ satisface el SDE de la forma
\begin{align*}
d \hat{L}(t; T, T + \Delta) = \hat{L}(t; T, T + \Delta)\,\beta_t\, dW_t, \quad 0 < t \le T,
\end{align*}
debajo de los $T+\Delta$-adelante probabilidad de medida, donde $\beta$ es una función determinista, y $\{W_t \mid t > 0\}$ es un estándar de movimiento Browniano. El capellán de la Rentabilidad (1), entonces tiene valor
\begin{align}
C(\alpha, \sigma) = P(0, T+\Delta) \Delta \Big[\big(L(0; T, T + \Delta)-\alpha\big) \Phi(d_1) - (K-\alpha) \Phi(d_2)\Big],\etiqueta{2}
\end{align}
donde
\begin{align*}
d_{1, 2} = \frac{\ln \frac{L(0; T, T + \Delta)-\alpha}{K-\alpha} \pm \frac{1}{2}\sigma^2(0, T) T}{\sigma(0, T) \sqrt{T}},
\end{align*}
y
\begin{align*}
\sigma(0, T) = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T \beta^2_t dt}.
\end{align*}
La volatilidad implícita de $\hat{\sigma}$ es una cantidad tal que
\begin{align*}
L(0; T, T + \Delta) \Phi(\hat{d}_1) - K \Phi(\hat{d}_2) = \big(L(0; T, T + \Delta)-\alpha\big) \Phi(d_1) - (K-\alpha) \Phi(d_2),\etiqueta{3}
\end{align*}
donde
\begin{align*}
\hat{d}_{1, 2} = \frac{\ln \frac{L(0; T, T + \Delta)}{K} \pm \frac{1}{2}\hat{\sigma}^2 T}{\hat{\sigma} \sqrt{T}}.
\end{align*}
Dado $T$ y $K$, la volatilidad implícita de $\hat{\sigma}$ es una función de $\alpha$.
Deje que $f(\alpha)$ ser el lado derecho de (3), que es,
\begin{align*}
f(\alpha) &= \big(L(0; T, T + \Delta)-\alpha\big) \Phi(d_1) - (K-\alpha) \Phi(d_2)\\
&=(K-\alpha)\bigg[\frac{L(0; T, T + \Delta)-\alpha}{K-\alpha} \Phi(d_1) - \Phi(d_2)\bigg].
\end{align*}
A continuación,
\begin{align*}
\frac{df(\alpha)}{d\alpha} &= -\frac{L(0; T, T + \Delta)-\alpha}{K-\alpha} \Phi(d_1) + \Phi(d_2) + \Phi(d_1) \frac{L(0; T, T + \Delta)-K}{K-\alpha}\\
&=\Phi(d_2) - \Phi(d_1) < 0.
\end{align*}
La derivada con respecto a $\alpha$ de el lado izquierdo de (3) está dada por
\begin{align*}
vega \times \frac{d \hat{\sigma}}{d \alpha}.
\end{align*}
Es decir,
\begin{align*}
\frac{d \hat{\sigma}}{d \alpha} < 0.
\end{align*}
En otras palabras, el aumento de $\alpha$ turnos de la volatilidad implícita de la curva de
$\hat{\sigma}(K)$ abajo, mientras que la disminución de $\alpha$ desplaza la curva hacia arriba.
La aplicación de un cambio, la distribución de probabilidad ha sido cambiado, por ejemplo, la distribución lognormal se ha cambiado a un desplazado a la distribución lognormal. Sin embargo, el precio no va a cambiar, mientras que la volatilidad implícita de los cambios. En la actual negativa o pequeña tasa de interés del medio ambiente, las personas tienden a citar a una tasa de interés del producto por su precio. A continuación, dado el precio, una volatilidad implícita se calcula con un cierto cambio de parámetro; de lo contrario, puede que no sea posible encontrar la volatilidad implícita (por ejemplo, el avance de Libor $L(0; T, T+\Delta)$ puede ser negativo). Ver también este papel.
