Me parece que la optimización del criterio de Kelly se basa en la suposición de que al inversor le interesa maximizar la tasa de crecimiento esperada de su cartera. ¿Por qué iba a importarle cuál es la tasa de crecimiento esperada? ¿No debería ser su objetivo maximizar su riqueza final esperada, o más bien la utilidad de su riqueza final?
Respuesta
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Thanassis
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El criterio de Kelly es sólo un enfoque de la construcción de carteras (o del tamaño de las apuestas) que tiene en cuenta la relación riesgo-rentabilidad. Hay muchas estrategias posibles (estáticas o dinámicas) que incorporan otros criterios, como la reducción máxima, la probabilidad de ruina, etc.
Como señala @John, Kelly está maximizando el logaritmo de la riqueza, lo que equivale a decir que la utilidad es el logaritmo de la riqueza.
Consideremos la analogía del lanzamiento de una moneda en la que se apuesta por una secuencia de lanzamientos sesgados.
En el $k$ el lanzamiento de la apuesta $B_k$ dólares y ganar $B_k$ con probabilidad $p > 1/2$ o perder $B_k$ con probabilidad $1-p < 1/2$ . Después de $n$ ensayos su riqueza esperada es
$$E(W_n) = W_0 + \sum_{k=1}^{n} (2p-1)B_k$$ .
Como el juego tiene una expectativa positiva, usted maximizaría el valor esperado apostando toda su riqueza disponible en cada prueba. Sin embargo, la estrategia audaz tiene probabilidad de ruina $1-p^n$ y $\lim_{n \rightarrow \infty}(1-p^n)=1$ . Por lo tanto, maximizar la riqueza terminal esperada tiene para la mayoría de la gente un riesgo inaceptable a la baja.
El enfoque estándar de Kelly es apostar una fracción fija $f$ de riqueza en cada juicio.
Después de cada ensayo, la riqueza total, suponiendo que las probabilidades de pago sean iguales, es
$$W_n= W_0\prod_{k=1}^n(1+fX_k),$$
donde $X_1,X_2,\ldots$ son variables aleatorias binarias i.i.d. con $P(X_k=1)=p$ y $P(X_k=-1)=1-p$ . Entonces
$$\log W_n= \log W_0+\sum_{k=1}^n\log (1+fX_k),\\\ E\left[\log \left(\frac{W_n}{W_0}\right)^{1/n}\right]= p\log (1+f)+(1-p)\log(1-f),$$
y el valor esperado se maximiza en los juegos favorables $(p > 1/2)$ cuando
$$f =f^*= 2p-1.$$
Por lo tanto, el criterio de Kelly maximiza tanto el logaritmo esperado de la riqueza final como la "tasa de crecimiento" esperada.
En el artículo original, Kelly abordaba un problema de transmisión de información y utilizaba la analogía de los juegos de azar sin hacer referencia a la construcción de carteras o a la utilidad. Supongo que la estrategia se propuso por una serie de propiedades asintóticas deseables.
La base de la estrategia es la noción de fracción fija o apuesta proporcional. Si no existe un límite inferior positivo en el tamaño de la apuesta (es decir, un capital infinitamente divisible), entonces $p > 1/2$ y $0 < f < 1$ hay cero probabilidades de que $W_n = 0$ . Definiendo la tasa de crecimiento como
$$G_f := E\left[\log \left(\frac{W_n}{W_0}\right)^{1/n}\right]= p\log (1+f)+(1-p)\log(1-f),$$ entonces si $G_f >0$ la Ley Fuerte de los Grandes Números implica eso, casi con seguridad,
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \log \left(\frac{W_n}{W_0}\right)^{1/n}= G_f > 0,\\ \lim_{n \rightarrow \infty}W_n = \infty.$$
Por último, el óptimo- $f$ estrategia que maximiza $G_f$ y $E[\log W_n]$ tiene un tiempo esperado para alcanzar un objetivo específico que es asintóticamente menor que cualquier otra estrategia (incluidas las estrategias no proporcionales).
