Fórmula de Black-Scholes para los saltos de Poisson

Question

Para el activo subyacente $$d S = r S dt + \sigma S d W + (J-1)Sd N$$ aquí $W$ es un movimiento browniano, $N(t)$ es un proceso de Poisson con intensidad $\lambda.$

Supongamos que $J$ es log-normal con desviación estándar $\sigma_J,$ denotan $$k = E[J-1]$$ entonces el valor de la llamada de vainilla es $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(\lambda'\tau)^n}{n!}e^{-\lambda'\tau}V_{BS}(S,t;\sigma_n,r_n)$$ Aquí $$\lambda' = \lambda(1+k),\ \tau =T - t$$ $$\sigma^2_n = \sigma^2 + \dfrac{n\sigma_J^2}{\tau},\ r_n=r-\lambda k+\dfrac{n\log(1+k)}{\tau}$$ y $V_{BS}$ es el valor Black-Scholes de una llamada sin saltos.

El resultado parece ser la media ponderada de las llamadas de vainilla, pero ¿cómo se deduce esta conclusión? ¿O hay alguna referencia?

Supongamos que $\log J \sim N(\mu,\sigma^2_J)$ y $Z$ es normal, entonces tenemos \begin{eqnarray*} \log S_T &=& \log S_0 + (r - \dfrac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma\sqrt{T} Z + N(T)\log(J)\\ &\sim& \log S_0 + \dfrac{1}{2}N(T)\sigma_J^2 +N(T)\mu + (r - \dfrac{1}{2}\hat{\sigma}^2)T + \hat{\sigma}\sqrt{T}Z\\ &=& \log \hat{S}_0 + (r - \dfrac{1}{2}\hat{\sigma}^2)T + \hat{\sigma}\sqrt{T} Z \end{eqnarray*} omitimos las representaciones de $\hat{S}_0,\ \hat{\sigma}.$ Así que creo que el precio en $0$ debe ser $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(\lambda T)^n}{n!}e^{-\lambda T}V_{BS}(\hat{S}_0,0;\hat{\sigma}_n,r)$$

Por qué el autor cambia el tipo libre de riesgo $r_n$ y la intensidad $\lambda',$ ¿cambia la medida tanto para el movimiento browniano como para el proceso de Poisson?

Answer 1

Suponemos que el proceso $\{J_t, \, t\ge 0\}$ se define en los tiempos de salto del proceso de Poisson $\{N_t, \, t \ge 0\}$ y todos los tamaños de los saltos son independientes e idénticamente distribuidos. Es decir, \begin{align*} Q_t \equiv \int_0^t (J_t-1) dN_t = \sum_{n=1}^{N_t} (J_i-1), \end{align*} donde $J_i$ , para $i=1, \ldots, \infty$ son independientes y $\xi_i = \ln J_i \sim N\left(u, \sigma_J^2\right)$ . Tenga en cuenta que, el proceso \begin{align*} Q_t -\lambda k\, t \end{align*} es una martingala. Además, como el proceso de descuento del precio de las acciones $\{e^{-rt}S_t, \ t\ge 0\}$ es una martingala, bajo la medida de riesgo neutral, suponemos que el proceso del precio de las acciones $\{S_t, \, t \ge 0\}$ satisface una SDE de la forma \begin{align*} dS_t = S_t \Big[(r-\lambda k)dt + \sigma dW_t + dQ_t\Big]. \end{align*} Entonces, \begin{align*} S_T &= e^{\left(r-\lambda k-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sigma W_T} \prod_{i=1}^{N_T} J_i = e^{\left(r-\lambda k-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sigma W_T + \sum_{i=1}^{N_T} \xi_i}. \end{align*} En consecuencia, $n\ge 0$ , \begin{align*} S_T\, \mathbb{I}_{N_T=n} &=e^{\left(r-\lambda k + \frac{n u}{T}-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sigma W_T + \sum_{i=1}^n (\xi_i-u)}\\ &=e^{\left(r-\lambda k + \frac{n u}{T}-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sqrt{\sigma^2 + \frac{n \sigma_J^2}{T}}\sqrt{T} Z}\\ &=e^{\left(r_n -\frac{1}{2}\sigma_n^2\right)T + \sigma_n \sqrt{T} Z}, \end{align*} donde $Z$ es una variable aleatoria normal estándar, $\sigma_n= \sqrt{\sigma^2 + \frac{n \sigma_J^2}{T}}$ y \begin{align*} r_n &= r-\lambda k + \frac{n u}{T}-\frac{1}{2}\sigma^2 +\frac{1}{2}\sigma_n^2\\ &= r-\lambda k + \frac{n\ln(1+k)}{T}. \end{align*}

Por lo tanto, \begin{align*} e^{-rT}E\left((S_T-K)^+ \right) &=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-rT}E\left((S_T-K)^+ \mathbb{I}_{N_T=n}\right)P(N_T=n)\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}e^{(-r+r_n)T}e^{-r_nT}E\left((S_T-K)^+ \mathbb{I}_{N_T=n}\right)P(N_T=n)\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\lambda T)^n}{n!}e^{-\lambda T}e^{(-r+r_n)T}C(S_0, K, r_n, \sigma_n, T)\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\lambda T)^n}{n!}e^{-\lambda T}e^{\left(-\lambda k + \frac{n\ln(1+k)}{T}\right)T}C(S_0, K, r_n, \sigma_n, T)\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\lambda T)^n}{n!}e^{-\lambda(1+k) T}e^{\left(-\lambda k + \frac{n\ln(1+k)}{T}\right)T}C(S_0, K, r_n, \sigma_n, T)\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\lambda' T)^n}{n!}e^{-\lambda' T}C(S_0, K, r_n, \sigma_n, T), \end{align*} donde $\lambda'=(1+k)\lambda$ y $C(S_0, K, r_n, \sigma_n, T)$ es el precio de la opción Black-Scholes.