Entender el teorema de la envoltura

Question

¿Puede alguien verificar si mis conocimientos son exactos o no?

Por lo que tengo entendido, la intención del teorema de la envolvente es hacer un atajo desde la utilidad indirecta a la función de gasto. Dicho esto, lo que puedes hacer una vez que hayas obtenido tu utilidad indirecta, es derivarla en términos de I (renta) y esto te dará la función de gasto (demanda hicksiana). ¿Es esto correcto o estoy totalmente equivocado?

Answer 1

El teorema de la envolvente es un resultado matemático general que dice que se puede diferenciar una función de valor con respecto a una variable sin diferenciar implícitamente la variable de argumento máximo.

Ejemplo: $V(p_x,p_y,w)=U(x(p_x,p_y,w), y(p_x,p_y,w))+\lambda(p_x,p_y,w)[w-p_x-p_y]$

Si quiero ver cómo cambia la utilidad en su nivel óptimo cuando cambia la riqueza, puedo simplemente diferenciar esta ecuación con respecto a la riqueza explícitamente:

$V_3=\lambda$ - por lo que la utilidad marginal de la riqueza es simplemente el multiplicador de Lagrange.

Como puedes ver no he diferenciado nada más, aunque la riqueza sí aparece en U. Esto es simplemente porque si lo hicieras, esos términos caerían =0 como resultado del FOC

La relación entre la utilidad indirecta y el gasto proviene de la "dualidad" entre ambos. La razón por la que $V(p,e(p,u))=w$ proviene del hecho de que los argumentos óptimos para ambos serán equivalentes cuando el valor de la utilidad alcanzada en el problema de utilidad máxima sea el mismo nivel de utilidad que fijamos como $U=\bar u$ en el problema de minimización de gastos.

Si se hace el FOC tanto para el máximo de utilidad como para el mínimo de gasto se obtienen las condiciones de tangencia:

$p_x/p_y=MRS$ en ambos casos. Por lo tanto, si el nivel objetivo $\bar u$ es lo que conseguimos en el problema de utilidad máxima, entonces las demandas marshallianas y hicksianas serán las mismas. Entonces la función de valor para el gasto min es:

$e(p_x,p_y,\bar u)=p_xh_x+p_yh_y=p_xx+p_yy=w$ y como $\bar u=V$

$e(p_x,p_y,V)=w$

De la misma manera, $V(p_x,p_y,w)=U(x,y)=U(h_x,h_y)=\bar u$ y como $w=e$

$V(p_x,p_y,e)=u$

Puedes encontrar mucho más buscando "dualidad de utilidad".