black scholes generalizado

Question

Entiendo cómo derivar la solución de Black Scholes si $dS_t$ = $\mu S_tdt$ + $\sigma S_tdW_t$ y r es constante. La solución es c(t, x) = $xN(d_{+}(T - t), x))$ - K $e^{-r(T - t)}N(d\_(T - t), x))$ donde $d_{+}(\tau, x)$ = $\frac{1}{\sigma\sqrt{\tau}}$ * $[log\frac{x}{K} + (r + \frac{1}{2}\sigma^2)\tau]$ , $d\_(\tau, x) = d_{+}(\tau, x) - \sigma \sqrt{\tau}$

Sin embargo, necesito encontrar la solución cuando, $dS_t = \mu_{t}S_tdt + \sigma_{t}S_tdW_t$ y $r_t$ son funciones deterministas de t. Me pidieron que adivinara la solución, así que debe ser un análogo muy cercano a la solución anterior. Pensé en integrar sobre el tiempo, pero no he podido verificar que esto funcione, y necesito verificar la solución.

Se agradecería cualquier ayuda para averiguar cuál es el formulario y cómo ir a verificar que es una solución.

Actualización: Alguien pidió ver algún trabajo extra, aquí está mi conjetura de lo que debería ser la solución: c(t, x) = $xN(d_{+}(T - t), x))$ - $Ke^{-\int_0^{T - t}r_udu}$ N(d_(T - t), x)) donde $d_{+}(\tau, x) = \frac{1}{\int_0^\tau \sigma_udu}$ * $[log\frac{x}{K} + \int_0^\tau (r + \frac{1}{2}\sigma^2)]$ , $d\_(\tau, x) = d_{+}(\tau, x) - \int_0^\sqrt{\tau} \sigma_udu$ .

No sé si esta conjetura es incluso correcta, y si lo es necesito verificar que es una solución la EDP de Black-Scholes.

Answer 1

Lo que necesitas es identificar la distribución del precio del activo $S_T$ condicionado al conjunto de información $\mathcal{F}_{t}$ en el momento $t$ , para $0\leq t < T$ . Tenga en cuenta que \begin{align*} S_T &= S_t \exp\bigg(\int_{t}^T \Big(r_s-\frac{\sigma_s^2}{2}\Big)ds + \int_t^T\sigma_s dW_s \bigg). \end{align*} Dejemos que \begin{align*} P(t, T) = \exp\bigg(-\int_t^T r_s ds \bigg), \end{align*} y \begin{align*} \hat{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{T-t}\int_t^T\sigma_s^2 ds}. \end{align*} Entonces \begin{align*} S_T &= F(t, T)e^{-\frac{\hat{\sigma}^2}{2}(T-t) + \hat{\sigma}\sqrt{T-t} Z}, \end{align*} donde $F(t, T)=S_t/P(t, T)$ es el precio a plazo, y $Z$ es una variable aleatoria normal estándar independiente de $\mathcal{F}_t$ . En consecuencia, el valor en el momento $t$ del pago de la opción $[\psi(S_T-K)]^+$ , donde $\psi = \pm 1$ viene dada por \begin{align*} P(t, T) E\Big([\psi(S_T-K)]^+ \mid \mathcal{F}_t \Big) &= P(t, T)\psi\big[F(t, T) N(\psi d_1) - KN(\psi d_2) \big], \end{align*} donde \begin{align*} d_{1} = \frac{\ln F(t, T)/K + \frac{\hat{\sigma}^2}{2}(T-t)}{\hat{\sigma}\sqrt{T-t}}, \end{align*} y \begin{align*} d_2 = d_1 - \hat{\sigma}\sqrt{T-t}. \end{align*}