Obtención de las características de la solución del modelo estocástico

Question

Quiero utilizar el siguiente modelo estocástico

$$\frac{\mathrm{d}S_{t}}{ S_{t}} = k(\theta - \ln S_{t}) \mathrm{d}t + \sigma\mathrm{d}W_{t}\quad (1)$$

utilizando el cambio de la variable $Z_t=ln(S_t)$

obtenemos la siguiente SDE

$$\mathrm{d}Z_{t} = k(\theta - \frac{\sigma^2}{2k} - Z_{t}) \mathrm{d}t + \sigma\mathrm{d}W_{t}\quad (2)$$

volvemos a cambiar de variable $X_t=e^{kt}Z_t$

obtenemos la siguiente SDE

$$\mathrm{d}X_t = k(\theta -\frac{\sigma^2}{2k})e^{kt}\mathrm{d}t + \sigma e^{kt}\mathrm{d}W_{t} \quad (3)$$

Esta última ecuación se puede integrar fácilmente y vemos que

$$(X_{t+1}-X_t)\sim N(\mu, \sigma)$$

Mi pregunta es ¿Cómo puedo obtener la ditribución de $\frac{S_{t+1}-S_{t}}{ S_{t}}$ ? (al menos su expectativa y desviación estándar bajo filtración $F_t$ )

Si volvemos a la primera ecuación parece que si $\mathrm{d}t$ es lo suficientemente pequeño entonces es una distribución normal con media $k(\theta - \ln S_{t}) \mathrm{d}t$ y sd $\sigma\mathrm{d}t$ pero quiero averiguar matemáticamente si es cierto, y si lo es, bajo qué supuestos.

Answer 1

He editado mi respuesta ya que Berr4All demostró que su ecuación es correcta.

Lo que sí puedes hacer es utilizar Ecuación de Fokker-Planck para obtener una densidad.

Answer 2

• 1 ) Una expansión de Taylor de primer orden da $\ln \left(\frac{S_{t+\Delta_t}}{S_t}\right)\approx \frac{S_{t+\Delta_t}-S_{t}}{S_t}+o(\Delta_t)$ Por lo tanto, a menos que $\Delta_t$ no es pequeño se puede dejar de lado el término residual y considerar $Z_t\overset{law}{=}\frac{S_{t+\Delta_t}-S_{t}}{S_t}$ .

• 2 ) Cálculo de los momentos: podemos proceder por la vía clásica de Dynkin

  recordamos que $dZ_t=k(\theta-\frac{\sigma^2}{2k}-Z_t)dt+\sigma dW_t$ Así que

  $d(Z_t^p)\overset{Itô}{=}p\cdot(Z_t)^{p-1}dZ_t+\frac{\sigma^2}{2}dt = \left(\frac{\sigma^2}{2}+ Z_t^{p-1}\cdot{pk(\theta-\frac{\sigma^2}{2k})-Z_t^p\cdot pk} \right)dt+p\sigma Z_t^{p-1}dW_t$

  tomando la expectativa,

  $E\left( Z_t^p \right)=E\left( Z_0^p \right)+\int_0^t\left(\frac{\sigma^2}{2}+ E(Z_s^{p-1})\cdot{pk(\theta-\frac{\sigma^2}{2k})-E(Z_s^p)\cdot pk} \right)ds$

  finalmente:

  $E\left( Z_t^p \right)=E\left( Z_0^p \right)+\frac{\sigma^2}{2}t+pk(\theta-\frac{\sigma^2}{2k}) \int_0^t E(Z_s^{p-1})ds-pk \int_0^tE(Z_s^p)ds $

  así que, tu p- th es la solución de la EDO determinista anterior que puede resolverse paso a paso empezando por $p=1$ .

• 3 ) Distribución exacta del rendimiento: en general, no es sencillo obtener una distribución/simulación exacta para las difusiones (y más para las SDE multidimensionales, por ejemplo: La SDE conjunta de Heston tiene una pdf exacta cuyo cálculo requiere el cálculo de Malliavin).

  Así que, en mi opinión, a menos que esté considerando simulaciones con un gran paso de tiempo, sería inútil ocuparse de la distribución exacta de su SDE.