Derivación de la EDP Vol estocástica

Question

Un par de preguntas sobre la derivación estocástica vol PDE. Siguiendo Gatheral un modelo estocástico general de vol viene dado por $$\begin{align*} dS(t) & = \mu(t) S(t) dt + \sqrt{v(t)}S(t) dW_1, \\ dv(t) & = \alpha(S,v,t) dt + \eta \beta(S,v,t)\sqrt{v(t)} dZ_2, \\ dZ_1dZ_2 = \rho dt \end{align*}$$ Para valorar una opción sobre una acción cuyo proceso de precio es el siguiente $S$ construimos una cartera compuesta por la opción cuyo precio es $V(S,v,t)$ , corto $\Delta$ acciones de la acción y corto $\Delta_1$ unidades de algún otro activo cuyo valor $V_1$ depende de la volatilidad.

Primera pregunta: ¿Es este "otro activo" absolutamente algo tal que $V_1 = V_1(v)$ ? Por ejemplo, otra opción en $S$ ...o alguna otra opción sobre otra acción, u otra acción, o...

El valor $\Pi$ de esta cartera es $$\Pi = V - \Delta S - \Delta_1 V_1.$$

A continuación derivamos la SDE satisfecha por $\Pi$ seleccione $\Delta$ y $\Delta_1$ para que la cartera no tenga riesgo, argumentan que $d\Pi = r\Pi dt$ si no arbitraje, y finalmente obtener $$\frac{\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}vS^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + \rho \eta v \beta S \frac{\partial^2 V}{\partial v \partial S} + \frac{1}{2}\eta^2v\beta^2\frac{\partial^2 V}{\partial v^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV}{\frac{\partial V}{\partial v}} \\ = \frac{\frac{\partial V_1}{\partial t} + \frac{1}{2}vS^2\frac{\partial^2 V_1}{\partial S^2} + \rho \eta v \beta S \frac{\partial^2 V_1}{\partial v \partial S} + \frac{1}{2}\eta^2v\beta^2\frac{\partial^2 V_1}{\partial v^2} + rS\frac{\partial V_1}{\partial S} - rV_1}{\frac{\partial V_1}{\partial v}}$$ Dado que el LHS sólo depende explícitamente de $t,v,S,V$ y el RHS sólo en $t,v,S,V_1$ cada una de ellas debe ser función únicamente de $t,v,S$ , digamos $f(t,v,S)$ . En particular, el precio $V$ de la opción debe satisfacer $$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}vS^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + \rho \eta v \beta S \frac{\partial^2 V}{\partial v \partial S} + \frac{1}{2}\eta^2v\beta^2\frac{\partial^2 V}{\partial v^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = \frac{\partial V}{\partial v}f(t,v,S).$$

Entonces, por la razón que sea elegimos $f = -(\alpha - \varphi \beta)$ y como afirma Gatheral tras la ecuación (3), "... $\varphi(S,v,t)$ se denomina precio de mercado del riesgo de volatilidad porque nos dice qué parte de la rentabilidad esperada del $V$ se explica por el riesgo (es decir, la desviación típica) de $b$ en el marco del CAPM".

Segunda pregunta: ¿Cómo funciona este precio de mercado del riesgo ( $\varphi$ ) se relacionan con el precio de mercado del riesgo que conozco en el modelo Black-Scholes, $\frac{\mu - r}{\sigma}$ ? Y lo que es más importante, ¿cómo llegaron (¿Heston?) a un acuerdo sobre $f = -(\alpha - \varphi \beta)$ ?

Answer 1

1. Este otro activo puede ser cualquier cosa que pueda valorarse con la misma ecuación. Por tanto, si está considerando valorar la opción original que vence sobre un único activo subyacente, cualquier otra opción sobre ese activo subyacente funcionaría. En caso de que utilice una opción sobre un subyacente diferente, necesitaría tener un modelo para la evolución conjunta de los dos subyacentes, e incluso si lo tiene, puede que las cosas no se cancelen bien, por lo que no hay gran ayuda en eso. Piénsalo desde el punto de vista práctico: te gustaría cubrir tu posición (hacerla indiferente) a los cambios en las acciones. Para eso necesitarías un valor del que sepas con certeza cómo depende del precio de las acciones. La propia acción es una buena opción. Otra acción puede estar muy correlacionada con la original, y es posible que desee utilizarla para la cobertura, tanto en la fijación de precios como en la teoría - sin embargo, en ambos ámbitos le quedaría algo de riesgo en caso de que la correlación no sea perfecta.

2. Según "Willmot on QF", la motivación es la siguiente. Si sólo se considera un $\Delta$ -cartera de cobertura $\Pi = V - \Delta S$ obtendrías $$\mathrm d\Pi = \eta\beta\frac{\partial V}{\partial \sigma}(\varphi \;\mathrm dt + \mathrm dZ_2)$$ de modo que, centrándonos en el término entre paréntesis, por cada unidad de riesgo se recibe $\varphi$ como recompensa.