CES: Función de producción: Elasticidad de sustitución $\sigma = 1/(1 + \rho)$

Question

Tengo que demostrar que $\sigma = 1/(1 + \rho)$ para la función de producción CES:

\begin{align} q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho} \end{align}

Descubrí que necesito resolver la siguiente ecuación: \begin{align} \sigma = \frac{\frac{d(k/l)}{k/l}}{\frac{dRTS}{RTS}} = \frac{d(k/l)}{dRTS}\frac{RTS}{k/l} = \frac{d(k/l)}{d((k/l)^{1-\rho})}\frac{(k/l)^{1-\rho}}{k/l} \end{align}

Pero simplemente no sé cómo reescribir esta expresión a $\sigma = 1/(1 + \rho)$

Answer 1

La función de producción es: $$q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho}$$ La MPL y MPK son respectivamente: $$q_l = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}$$ $$q_k = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}$$ ¿Cuál es la tasa a la que $l$ puede ser sustituido por $k$?

Donde $f$ es una función diferenciable de valores reales de una sola variable, definimos la elasticidad de $f(x)$ con respecto a $x$ (en el punto $x$) como $$\sigma(x) = \frac{x f'(x)}{f(x)}\equiv \frac{\frac{df(x)}{f(x)}}{\frac{dx}{x}}$$

1. Haga un cambio de variables tal que $u = ln(x)$ ($\rightarrow x = e^u$) y $v=ln(f(x))$ ($\rightarrow f(x) = e^v$)
2. Observe que $v' = f'(x) / f(x)$ y $u'=\frac{1}{x}$ de modo que $$\frac{v'}{u'}=\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{1}{x}} = \sigma(x)$$
3. Observe que este es también el resultado que se obtiene al resolver $ \frac{d ln f(x)}{d ln(x)}$ porque $ \frac{d ln f(x)}{d ln(x)} = \frac{d v}{d u}$ el cual se resuelve mediante la regla de la cadena: $$ \frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x $$ lo cual resulta ser exactamente la definición de $\sigma(x)$.

Ahora abordemos tu problema de elasticidad.

$$ ln(\frac{q_k}{q_l})= log(\frac{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}}{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}}) = ln (\frac{l}{k})^{\rho-1} = (\rho-1) ln (l/k) = (1 - \rho) ln (k/l)$$ $$ \Rightarrow ln (k/l) = \frac{1}{1-\rho} \cdot ln(\frac{q_k}{q_l})$$

Entonces $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$

Answer 2

Me gustaría añadir un poco a la respuesta anterior. Escribí un comentario antes, pero pensé que sería útil detallar un poco más el argumento.

Tenemos una empresa que utiliza dos factores de producción, trabajo $l$ y capital $k$, para producir producción. La cantidad de producción se escribe como $q$.

La elasticidad de una función de una única variable mide la respuesta porcentual de una variable dependiente a un cambio porcentual en la variable independiente.

Por otro lado, la elasticidad de sustitución entre dos insumos de factores mide la respuesta porcentual de la relación de sus cantidades a un cambio porcentual en los productos marginales relativos.

Con respecto a lo anterior, tenemos que la elasticidad se da por

\begin{align} \sigma \equiv \frac{d \ln{\left( k/l \right)}}{d\ln{ \left( MPL/MPK \right)}} \end{align}

donde $MPL$ es el producto marginal del trabajo y $MPK$ es el producto marginal del capital.

La razón por la que escribo esto es que hay un pequeño error en la respuesta anterior. En la ecuación justo después de "Ahora abordemos tu problema de elasticidad," $\ln{\frac{q_k}{q_l}}$ es seguido inmediatamente por una expresión de $\ln{\frac{q_l}{q_k}}$ intercambiando el numerador con el denominador.

Si corriges esto, obtienes que $\sigma = -\frac{1}{1-\rho}$, que está cerca pero no es del todo correcto. Para obtener la respuesta correcta, sigues exactamente los mismos cálculos dados en la respuesta anterior para obtener

$$ \ln{k/l} = \frac{1}{1-\rho}\cdot \ln {\frac{q_l}{q_k}}$$

para obtener que $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$, donde las correcciones se dan por las razones mencionadas anteriormente.