La convexidad de BS Ecuación para Call y Put

Question

Tengo una simple pregunta.

Es la Fórmula Black-Scholes convexa con respecto a la volatilidad Implícita parámetro $\sigma$ (para llamadas o put) ?

Cuando digo Black-Scholes me refiero a una llamada de la siguiente (en Adelante el precio de $F_t$):

$$Llamar al (F_t,T-t, K, \sigma^2) = F_t.N(d_1) - K. e^{-r.(T-t)}.N(d_2)$$

$$d_1=\frac{Ln(F_t/K)+1/2.\sigma^2.(T-t)}{\sigma.\sqrt{T t}}$$ $$d_2=d_1 - \sigma.\sqrt{T t}$$

y para poner un

$$Put (F_t,T-t, K, \sigma^2) = K. e^{-r.(T-t)}.N(-d_2)-F_t.N(-d_1) $$

PS: sé que la respuesta es no, pero hay una forma elegante para probar esto (es decir, sin la fuerza brutal de la diferenciación de la vega)

Answer 1

Seguro. La fórmula de la vega (usted probablemente recordará) es

$$ v(\sigma) = S n( d_1(\sigma) )\sqrt{T t} $$

El gaussiano PDF, $n(\cdot)$, es estrictamente de no-convexo, teniendo un máximo local en cero. Por lo tanto, existe un máximo correspondiente de la vega ocurren donde la huelga $K_\text{max}$ resuelve $$ d_1(\sigma)=0 $$ que funciona a $$ K_\text{max} = S \exp((r-q-\frac12\sigma^2)\sqrt{T t}). $$

Por lo tanto, para que esta huelga que tenemos para cualquier $\sigma_1,\sigma_2$ tal que $\sigma_1<\sigma<\sigma_2$, que $$ d_1(\sigma_1)<0=d_1(\sigma)<d_1(\sigma_2) $$ y desde $0$ es el argmax de $n(\cdot)$ $$ n(d_1(\sigma_{1,2}))<n(d_1(\sigma))=1. $$

De ello se sigue que para todo $\lambda \in [0,1]$ $$ \lambda v(\sigma_{1})+(1-\lambda) v(\sigma_{2})<v(\sigma) $$ demostrando la concavidad de la vega.

Answer 2

La vega es bastante lineal para la ATM opciones. Es convexa en su mayoría por OTM y el IMT.

Una explicación intuitiva es que un OTM con la opción de volatilidad será un valor de cero. Si aumenta la volatilidad de 1%, entonces más probable es que el precio está cerca de cero. Por lo tanto, la vega es cero (o pequeña).

Ahora si aumenta la volatilidad suficiente, claramente en algún punto de la opción que va a tener un valor razonable, y una positiva de la vega. Por lo tanto, como el aumento de la volatilidad, vega mayor (de cero a algo), que muestra la convexidad.

Answer 3

BS es cada vez mayor con respecto a la volatilidad, y delimitada desde arriba, es decir, la llamada por $F$ y poner por $K$, ya que la volatilidad va al infinito. Por lo que no puede ser convexa con respecto a la volatilidad.