Calcular la expectativa de un cambio CDF

Question

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria normal con media 0 y varianza $\sigma^2$. $F(x)$ es la CDF(función de distribución acumulativa) de una variable aleatoria normal estándar(media 0 y la variable 1), cómo calcular la expectativa de $ F(X+a)$, donde $ a>0 $.

Este fue un quant pregunta de la entrevista. Sé cómo calcular la expectativa de F(X), i.e si $a=0$, pero no tengo idea de cuando $a \neq 0$.

Mi solución para $a=0$:

Método 1: Puesto que F(x) es la CDF de una variable aleatoria normal con media 0 y varianza $\sigma^2$. Vamos a tener F(x)=1-F(-x). Supongamos que f(x) es el correspondiente pdf, y f(x)=f(-x). Entonces \begin{align} \mathbb{E}[F(X)]&=\int_{-\inf}^{+\inf} F(s)f(s)ds\\ &=\int_{-\inf}^{+\inf} (1-F(-s) f(s)ds\\ &=1-\int_{-\inf}^{+\inf} F (s)f(s)ds\\ &=1-\int_{-\inf}^{+\inf} F(m)f(m)dm \end{align} Por lo tanto, tenemos $$ \int_{-\inf}^{+\inf} F(s)f(s)ds=\frac{1}{2}$$

Método 2(Este método parece ser que no requieren que X es la variable aleatoria normal): primero Vamos a calcular la distribución por $F(X)$: \begin{align} \mathbb{P}\{F(X) \leq y\}&=\mathbb{P}\{X \leq F^{-1}(x)\}\\ &=F\cdot F^{-1}(y)=y \end{align} Por lo que $F(X)$ es distribuido uniformemente, por lo tanto la media es $\frac{1}{2}$.

Answer 1

Esto nos lleva al mismo resultado que Alexeys respuesta. Sin embargo, mi razonamiento es diferente. $$ E[F_X(X+a)]=\int_{-\infty}^{\infty} F_X(x+a) f_X(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{x+a}f_X(y)dy f_X(x)dx=\\ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} 1_{(-\infty,x+a]}(y) f_X(y) f_X(x)dydx= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} 1_{_{\{y-x\le\}}}(y) f_X(y) f_X(x)dydx. $$

El producto de los dos densidades en la integral es la densidad de un bivariante de Gauss vector (X,Y), cuyos componentes son independientes y siguen una distribución normal $N(\mu\sigma^2)$. Por lo tanto, esta integral es el mismo

$$ E[1_{\{Y-X\le\}}]=P[\{Y-X\le\}], $$

donde $Y,$ X son iid $N(\mu\sigma^2)$. Por lo tanto $Y-X$ tiene $N(0,2\sigma^2)$ de distribución. Tenemos

$$ E[F_X(X+a)]=F_{Y-X}(a)=\Phi\left(\frac{a}{\sqrt{2}\sigma}\derecho). $$

Answer 2

Esperemos que esta sea la correcta...

Así que en primer lugar, ¿qué es de $F(X)$ cuando $X$ es un azar variabel?

Aquí es donde podría estar completamente equivocado, pero al menos da la respuesta correcta en el caso de a=0, así que vamos a intentar que uno de los primeros.

Tenemos dos variables aleatorias con la misma distribución normal, media 0 y sd $\sigma^2$. $X_1, X_2$

Así que se supone que vamos a calcular $F_{X_1}(X_2) = P(X_1, \leq X_2) = P(X_1 - X_2 \leq 0)$

Ya que ambos $X_1$ y $X_2$ son normales tenemos que $X =X_1 - X_2$ es también normal con una media de $0$ y s.d. $2\sigma^2$

Así que tenemos un total de $P(X \leq 0)$, que es 1/2.

Para el caso de que $a \neq 0$ obtendríamos $P(X \leq a)$ que es de $F_{X}(a)$. Sin embargo parece que no siempre terminan como una constante, por lo que el valor esperado parece un poco 'redundante', lo cual me hace pensar que esto podría no ser la solución correcta..

edit: También, en $P(X \leq a)$ podría dividir a conseguir, ya que la media es 0, se dividen para obtener normal estándar y usted recibirá $\Phi(\frac{a}{\sqrt2sigma})$ o algo como eso.

edit2:

sigma = 2;
n = 5000000;
a=5;
mean(normcdf(normrnd(0,sigma,1,n)+a,0,sigma))
normcdf(a/(sqrt(2)*sigma),0,1)

Answer 3

Como ya se mencionó usted puede conseguir el CDF de esta distribución con la distribución de transformación:

$$P(F(X+a)\le y)=P(F^{-1}(F(X+a))\le F^{-1}(y))=P(X+a\le F^{-1}(y))=P(X\le F^{-1}(y)-a)=F(F^{-1}(y)-a)$$

A continuación, puede escribir expectativa en forma integral, pero en la primera vista, no parece tan trivial cómo obtener una expresión explícita. Probablemente no esperaban que hacer esto.

También puede intentar ejecutar rápida de Monte-Carlo en R para ver lo que su distribución se ve así:

  a <- 1
  sigma <- 2
  m <- pnorm(rnorm(10000,0,sigma)+a,0,sigma)
  hist(m)  
  plot(ecdf(m))
  mean(m)

Definitivamente, usted se ve que no es uniforme para los valores de $a$ que son significativamente mayor que 0.