¿Cuál es el punto de descuento en riesgo-neutro precio?

Question

Deje que $\phi$ ser una estrategia de financiamiento que replica un tiempo $T$ opción de pago $X$ en stock $S$. Por la definición de una estrategia de negociación, $\phi$ es previsible. Por último, vamos a $V_t$ ser el tiempo $t$ valor de la cartera de la aplicación $\phi$.

Habitual teorema: Si $S_te^{rt}$ es $\mathbb{Q}$-martingala, entonces $V_t = \mathbb{E}_\mathbb{Q}[e^{-r(T-t)}X|\mathcal{F}_t]$.

Nota: si el precio de la opción eran otra cosa que $V_t$, tendríamos arbitraje.

Mi Reclamo: Si $S_t$ es $\mathbb{Q}$-martingala, entonces $V_t = \mathbb{E}_\mathbb{Q}[X|\mathcal{F}_t]$.

Sin el descuento es necesario, y de nuevo esta $\phi$ es una réplica del auto-financiación de la estrategia, de modo que el valor de la opción debe ser de nuevo $V_t$ para todo $t$.

Prueba de Mi Afirmación. Considere la posibilidad de tiempo discreto y dejar $S_t$ ser $\mathbb{Q}$-martingala. Por definición de una estrategia de financiamiento, $\Delta V_{t+1} = \phi_{t+1}\Delta S_{t+1}$. donde $\Delta V_{t+1} = V_{t+1} - V_t$. Por lo tanto \begin{align*} \mathbb{E}_\mathbb{Q}[\Delta V_{t+1}|\mathcal{F}_t] =\mathbb{E}_\mathbb{Q}[\phi_{t+1}\Delta S_{t+1}|\mathcal{F}_t] =\phi_{t+1}\mathbb{E}_\mathbb{Q}[\Delta S_{t+1}|\mathcal{F}_t] = 0, \end{align*} donde la segunda igualdad es porque $\phi$ es previsible. Por lo que $V_t$ es $\mathbb{Q}$-martingala, y \begin{align*} V_t = \mathbb{E}_\mathbb{Q}[V_T | \mathcal{F}_t] = \mathbb{E}_\mathbb{Q}[X | \mathcal{F}_t], \end{align*} donde la segunda igualdad es porque $\phi$ replica $X$.

Lo que me estoy perdiendo? ¿Por qué consideramos sólo de descuento de los precios de las acciones, y por lo tanto, ¿cuál es el punto de descontar la expectativa? La única buena razón por la que puedo pensar, considerando únicamente el descuento de los precios de las acciones es que la martingala representación teorema garantiza la existencia de auto-estrategias de financiamiento en este caso. Pero aún así, el teorema es válido para cualquier auto-financiación de la estrategia, de modo que el descuento aún parece innecesario.

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Actualización: Bueno, mi ejemplo anterior, de hecho, supone que yo era el comercio en sólo uno en stock, en la que generalmente no es posible tener una réplica del auto-financiamiento de la estrategia de la derecha?). Déjame probar un nuevo, más en general, de reclamo, de nuevo hacer valer el descuento no es necesario por el comercio en dos poblaciones $S^1$ y $S^2$, y que requiere de ambos para ser de $\mathbb{Q}$-martingales. Este va a ser un poco diferente que el "habitual" teorema de arriba en que vamos a requerir tanto que las existencias se martingales, pero este parece válida. Además, si tuviéramos una opción de pago que era una función de dos poblaciones, podemos usar este mismo reclamo para el comercio sólo en esas dos poblaciones; es decir, no "extra" de las existencias necesarias para el comercio.

Otra vez deje que $\phi$ ser una estrategia de financiamiento que replica un tiempo $T$ opción de pago $X$ en stock $S^1$, pero ahora $\phi$ oficios en ambos $S^1$ y $S^2$. Por la definición de una estrategia de negociación, $\phi$ es previsible. Por último, vamos a $V_t$ ser el tiempo $t$ valor de la cartera de la aplicación $\phi$.

Actualizado reclamación: Si el vector $S = (S_1, S_2)$ es $\mathbb{Q}$-martingala; es decir, cada componente de la $S$ es $\mathbb{Q}$-martingala, entonces $V_t = \mathbb{E}_\mathbb{Q}[X|\mathcal{F}_t]$.

Prueba. Vamos $S = (S_1, S_2)$ ser $\mathbb{Q}$-martingala. Por definición de una estrategia de financiamiento, $\Delta V_{t+1} = \phi_{t+1}\cdot\Delta S_{t+1}$, donde $\Delta V_{t+1} = V_{t+1} - V_t$ e "$\cdot$" es el producto escalar. Por lo tanto \begin{align*} \mathbb{E}_\mathbb{Q}[\Delta V_{t+1}|\mathcal{F}_t] =\mathbb{E}_\mathbb{Q}[\phi_{t+1}\cdot\Delta S_{t+1}|\mathcal{F}_t] =\phi_{t+1}\cdot\mathbb{E}_\mathbb{Q}[\Delta S_{t+1}|\mathcal{F}_t] = 0, \end{align*} donde la segunda igualdad es porque $\phi$ es previsible. Por lo que $V_t$ es $\mathbb{Q}$-martingala, y \begin{align*} V_t = \mathbb{E}_\mathbb{Q}[V_T | \mathcal{F}_t] = \mathbb{E}_\mathbb{Q}[X | \mathcal{F}_t], \end{align*}

¿Esto parece correcto? Si es así, parece de verdad descuento (en general, por algunos numeraire) sería necesario para que la "costumbre" teorema, pero esto parece igual de válido.

Answer 1

Usted sólo tiene uno de los activos en su cartera, lo que significa que sólo puede estáticamente cobertura. Por la definición de auto financiación, $V_0=\phi_0 S_0$, $V_1=V_0+\phi_1 (S_1-S_0)$ y $V_1= \phi_1 S_1$. Poniendo estos dos últimos juntos, $V_0=\phi_1 S_0 $. Por lo tanto $\phi_1=\phi_0$ y tiene una posición estática. Intuitivamente, esto es debido a que no puede el comercio de otro activo. Si usted podría dinámicamente comercio otro activo, su lógica se rompe ya no activo tiene un cero de la tasa de retorno (en general).

El resultado anterior se puede generalizar. Por no arbitraje, todos los activos denominados en términos de los otros activos se martingales en la medida inducida por la llamandole de activos.

En el "Riesgo Neutral", el denominar de activos es un vínculo o cuenta de mercado monetario, y por lo tanto el "descuento" $S_t$ es una martingala (o, tal vez más claramente, $\frac{S_t}{M_t}$ es una martingala donde $M_t$ es el mercado de dinero de la cuenta).

Independientemente de los elegidos denominar activo, la opción de la fórmula de fijación de precios seguirá siendo el mismo. Usted leva comprobar esto mediante la resolución de Black Scholes precio de la opción de usar el stock en lugar de que el mercado de dinero como el denominar de activos.

Así que no, no puede simplemente tomar el valor esperado de la terminal de pago en virtud de la medida en virtud de los cuales $S_t$ es una martingala como en general no hay ningún activo que ha de retorno cero.

Edición en respuesta a la OP de la actualización:

Tengo dos acciones al comercio y a sólo dos de las existencias para el comercio. Estoy tratando de replicar la rentabilidad de una función de una de las poblaciones; por ejemplo, de $g(S_1 ^ T)$. Mi auto financiación de la cartera es de $X=\Delta_1 S_1 + \Delta_2 S_2$ y $dX=\Delta_1 dS_1 + \Delta_2 dS_2$. Yo se asume por simplicidad que ambas poblaciones tienen la dinámica de la forma $dS=\alpha S dt+\sigma S dW_t $ y que son independientes. Entonces $$dX=\Delta_1 \alpha_1 S_1 dt+\Delta_1 \sigma_1 S_1 dW_1+\Delta_2 \alpha_2 S_2 dt+\Delta_2 \sigma_2 S_2 dW_2 $$ La Sustitución De $X=\Delta_1 S_1 +\Delta_2 S_2$, $$dX=\Delta_1 \alpha_1 S_1 dt+\Delta_1 \sigma_1 S_1 dW_1+ \alpha_2 (X-\Delta_1 S_1)dt+\sigma_2 (X-\Delta_1 S_1) dW_2 $$ Dejar que $\hat{X}=\frac{X}{S_2}$, $$d\hat{X}=\frac{dX}{S_2}-\frac{X}{S_2 ^2} dS_2+\frac{X}{S_2 ^3}\sigma^2 S_2^2 dt-\frac{dXdS_2}{S_2 ^2}$$ $$=\Delta_1 \alpha_1 \frac{S_1}{S_2} dt+\Delta_1 \sigma_1 \frac{S_1}{S_2} dW_1+ \alpha_2(\hat{X}-\Delta_1 \frac{S_1}{S_2})dt+(\hat{X}-\Delta_1 \frac{S_1}{S_2})\sigma_2 dW_2-\hat{X} \alpha_2 dt-\hat{X} \sigma_2 dW_2+\hat{X} \sigma_2 ^2 dt -\Delta_2 \sigma_2 ^2 dt$$ $$=\Delta_1 d\hat{S}$$ Donde $\hat{S}=\frac{S_1}{S_2}$.

Ahora el problema se reduce a encontrar una medida en virtud de los cuales $d\hat{S}$ es una martingala desde entonces, el valor de la opción es de $$S_2 ^ 0 \hat{X}_0= S_2 ^ 0 \mathbb{\hat{E}}[\hat{X}_T]$$

El diferencial de $d\hat{S}$ es $$d\hat{S}=\hat{S}\left(\alpha_1 -\alpha_2\derecho)dt + \hat{S}( \sigma_1 dW_1-\sigma_2 dW_2)+\hat{S} \sigma^2 dt $$

Tratamos de encontrar un par de $\theta_1, \theta_2 $ que resuelve

$$ \hat{S}( \sigma_1 (dW_1+\theta_1 dt)-\sigma_2 (dW_2+\theta_2 dt))=\hat{S}\left(\alpha_1 -\alpha_2\derecho)dt + \hat{S}( \sigma_1 dW_1-\sigma_2 dW_2)+\hat{S} \sigma^2 dt $$

Esto puede ser simplificado a $$\sigma_1 \theta_1-\sigma_2 \theta_2=\alpha_1-\alpha_2+\sigma_2 ^2 $$ No existe una única solución, por lo que el mercado es incompleto. Sin embargo, tenga en cuenta que su propuesta de solución $\theta_1=\frac{\alpha_1}{\sigma_1}$, $\theta_2=\frac{\alpha_2}{\sigma_2}$ no es una de las posibles soluciones.

Answer 2

A mí me parece que si se tratara de una martingala, uno podría hacer un montón de dinero (en espera) por cortocircuito e inversión de los ingresos en el riesgo neutral de activos/cuenta bancaria.