Precio de las acciones de Comportamiento y GARCH

Question

En mi (limitada) de la comprensión, el comportamiento del precio de una acción puede ser modelado mediante el Movimiento Browniano Geométrico (GBM). De acuerdo con el Casco libro que estoy leyendo actualmente, la versión en tiempo discreto de este modelo es la siguiente:

$$\Delta S = \mu S \Delta t + \sigma S \varepsilon \sqrt{\Delta t}, \quad \varepsilon \sim N(0,1)$$.

Si estoy realizando una simulación de Monte Carlo, ¿podría utilizar el término estructura de un modelo GARCH para conectar un único valor de la volatilidad en cada paso de tiempo en lugar de utilizar un valor constante?

Es este un uso correcto del modelo GARCH?

Answer 1

Muy bien para el viento las cosas de aquí abajo, yo creo que una importante aclaración es necesaria si los lectores pueden venir y buscar una solución similar.

El Movimiento Browniano Geométrico (GBM) es un modelo de precios de activos de la dinámica que se da generalmente como sigue:

$$ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dB_t$$

donde $B_t$ es un estándar el movimiento browniano , que tiene varias características importantes, principalmente que es estacionaria y $B_t \sim N(0,t)$.

Es muy famoso porque es bastante sencillo de encontrar una solución de forma cerrada para $S_t$ y porque fue utilizado en la derivación de la fórmula Black-Scholes.

Lo que el estado es un dicretization del GBM:

$$S_{t+\Delta t}-S_t= \Delta S_t = \mu S_t \Delta t + \sigma S_t \epsilon \sqrt{\Delta t}$$

Que sólo se utiliza la propiedad de que el movimiento Browniano (que es un paseo aleatorio) y que se dice que $B_{t + \Delta t} - B_t = B_{\Delta t} \sim N(0,\Delta t)$ y creó una similar de la variable $\underbrace{\epsilon}_{N(0,1)} \sqrt{\Delta t} \sim N(0,\Delta t)$

Es este modelo, se asume que la volatilidad es constante $\sigma$.

Ahora GARCH(p,q) es diferente: el modelo intenta encontrar una forma de expresar el retorno en el tiempo $t+1$ dada la última de las devoluciones. Y se supone que cada nueva vuelta es

$$r_t=a_0 + z_t$$

Donde $z_t = \sigma_t \epsilon_t \sim N(0,\sigma_t^2)$

El local de la volatilidad es asumida en el modelo

$$\sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_i z_{t-i} + \sum_{i=1}^p \beta_i \sigma_{t-i}^2$$

Entonces, lo que hacen es que usted elija 2 parámetros de $p$ y $q$, que encaja en el modelo para los datos históricos para obtener los parámetros $a_0, \alpha_i, \beta_i$ (utilizando un estimador de máxima verosimilitud) y por lo tanto se puede calcular el estimado pasado $\sigma_i$ por $i \leq t$.

Luego usted puede simular diferentes de ruta de acceso de la población en el futuro por medio de la ecuación de los modelos para generar los futuros $\sigma_t$ y $r_t$ y que será diferente en cada generación, porque es necesario generar un $\epsilon_t$ en cada paso. Esto es útil para la simulación Monte-Carlo de opciones por ejemplo, cuando no se desea utilizar la constante volatilidad de los datos discretos GBM.

Answer 2

Me imagino, y me corrija si estoy equivocado, que desea crear un número de posibles caminos que el precio de las acciones podría seguir con el local volatilty dada por GARCH dependiendo de la simulación de la historia, o en pseudocódigo:

N <- numberOfPaths
T <- numberOfSteps
for (i in 1:N) {
    newSeries <- pastPrices
    for (t in 1:T) {
        epsilon <- normrnd(0,1)
        sigma <- calculateGARCHVol(pastPrices)
        newSeries.append(nextPrice(epsilon, sigma))
    }
    allSeries.append(newSeries)
}

Sí, usted puede hacer esto y este es el uso correcto de GARCH.

Answer 3

Voy a proporcionar una respuesta que es bastante similar a SRKX (que es muy muy buena) porque quiero discutir en más detalle algunas cosas importantes. En primer lugar, usted puede utilizar un modelo de volatilidad estocástica para la SDE que usted ha proporcionado a medida que el GBM con la constante de difusión. Sin embargo, basado en lo que usted ha dicho es obvio que usted desea para un modelo discretizado de la versión de el siguiente proceso:

$$\boxed{dS(t) = S(t)(\mu dt + \sigma(t)dW(t))}$$

donde $W(t)$ es un estándar de escalar el movimiento Browniano bajo el mundo real, la probabilidad de medir, $\mu$ es su constante deriva y $\sigma(t)$ es su volatilidad proceso que podemos asumir que siga GARCH dinámica.

Haciendo lo que siempre hacen la mayor parte del tiempo en la financiación de la investigación, voy a definir devuelve como $R(t):= \ln{\frac{S(t)}{S(t-1)}}$. En el univariante de ajuste, la media de la ecuación de una ARCH/GARCH tipo general, el modelo de la siguiente manera:

$$\boxed{R(t) = \mu + \sum_{i=1}^N a_i R(t-i) + b \sigma(t) + \mathbf{c}\mathbf{X(t)} + \sigma(t) (W(t)-W(t-1))}$$

donde $a_i$ son los AR(i) los coeficientes, $b$ es el coeficiente de la garch en media, $\mathbf{c}$ es un vector fila de los coeficientes de algunas variables exógenas representado por el vector columna $\mathbf{X(t)}$. Sin embargo, dado el proceso que usted ha especificado, estamos restringidos a un muy específicos de la media de la ecuación:

$$\boxed{R(t) = \mu + \sigma(t)(W(t)-W(t-1)) }$$

donde $W(t)-W(t-1) \desbordado{d}{=} W(1) \sim N(0,1)$. Esta restricción no es automáticamente preocupante como es frecuente cuando la modelización de la DCC-fGARCH (variable en el tiempo de las correlaciones con la familia GARCH). Sin embargo la mayoría de los estudios que se ven las cosas como bivariante de varianza de los efectos de contagio (por ejemplo, el contagio de investigación) o que están haciendo un estudio donde GARCH univariados es involucrarse (por ejemplo, la tasa de cambio de la exposición de la investigación de mercado que devuelve el tipo de cambio y los rendimientos son variables exógenas en la media de la ecuación) encontrarán que este proceso sea inadecuado para su uso.

Ignorando las cuestiones empíricas con la media de la ecuación que se derivan de la propuesta de SDE, podemos ver que la media de la ecuación de la representación se deduce del hecho de que, en $\mathcal{F}_{0}$ y bajo en el mundo real $\mathbb{P}$:

$S(t) = e^{\mu t + \sigma(t) W(t)}$

$\, por tanto \ln{\frac{S(t)}{S(t-1)}} = \mu + \sigma(t) (W(t) - W(t-1))$

$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \desbordado{d}{=}\mu + \sigma(t) W(1) $

Por suerte, la varianza de la ecuación es sin restricciones, y podemos usar el modelo GARCH cuyo proceso se define aquí. Para un discretizado econométricos representación de GARCH(1,1) tenemos, como SRKX establece;

$$\boxed{\sigma_t^2 = \omega + \alpha (W(t-1)-W(t-2))^2\sigma(t-1)^2 + \beta \sigma(t-1)^2}$$

Así que a continuación, debe proceder con su plan de discretización , mientras que la correcta utilización de la ecuación significa que yo en caja. Este es el valor predeterminado en paquetes de R ccgarch, rugarch y fGarch, por lo que es tu día de suerte!

Answer 4

Para el caso univariante, considere X que es el registro de los precios de algunas acciones. Primero, el ajuste X con un AR(p) modelo y recoger los residuos. Siguiente, ajuste un Garch(p,q) modelo y recoger el condicional desviaciones estándar. La escala inicial de residuos por el condicional desviaciones estándar para producir una nueva serie que tiene una media de 0 y varianza 1. Por el bien de la simplicidad, se supone que esto es normalmente distribuida.

Para la simulación de un genérico de paso, se vería así: 1) simular a partir de N(0,1) y recoge que en un vector, 2) crear un vector que sería el resultado de usar el modelo Garch de arriba para encontrar el condicional de la desviación estándar en cada simulación, 3) Hadamard producto de la N(0,1) vector por el nuevo vector de la condición de desviaciones estándar, 4) agregar que a lo que usted se obtiene de la media condicional de la AR(p) ecuación 5) tomar la exp() del vector para volver a convertir a los precios de las acciones. Si haces esto cada período y recoger a una matriz, entonces usted tendrá la distribución de los precios a lo largo del tiempo.