¿Cómo puedo simular el riesgo de la cartera (diversificación) con una "Rueda de la Fortuna" como opciones de inversión/retornos?

Question

Digamos que tengo 6 posibles opciones de inversión con la siguiente probabilidad de éxito y los correspondientes rendimientos:

| Investment | Probability of Success | Return |
|    I1      |           0.5          |   2x   |
|    I2      |           0.3          |   6x   |
|    I3      |           0.1          |  10x   |
|    I4      |          0.06          |  20x   |
|    I5      |          0.02          |  40x   |
|    I6      |          0.02          |  40x   |

Lo que deseo saber es cuál es la mejor 'cartera de inversión' (es decir, la que tiene menos riesgo - es decir, no hay corte de menos nada serviría por ahora). Deseo 'simular' dicha cartera y su rendimiento esperado, para la inversión. No sé si es posible, pero estoy tratando de ver si responde a algunas preguntas:

1. Si la capacidad de inversión inicial es de 100.000 dólares, ¿cómo debo invertir en estas opciones, es decir, cuánto invertir en cada una de ellas para obtener "algún" beneficio con un riesgo mínimo de pérdida?
2. Si no es posible hacer lo anterior mediante una simulación, ¿es posible "ver" cuál sería una cartera óptima? es decir, ¿dónde invertir todo?
3. Si nada de lo anterior es posible, ¿cuál es la mejor manera de simular este escenario para medir el "riesgo de la inversión"?

Básicamente quiero una visión gráfica de cómo serían las cosas, es decir, el riesgo de dicha inversión. Me gustaría simular esto en Excel utilizando Monte-Carlo, pero no consigo entender "qué" hacer para observar el riesgo asociado a la cartera o qué formaría una buena cartera con un riesgo mínimo.

ACTUALIZACIÓN: En un momento dado SOLO UNA inversión será un éxito ya que solo 1 de las opciones puede ocurrir en el momento 't'. Por tanto, si invierto \$1 in each initiative and it's I1 that comes out the winner, I'll land up with \$ 2 pero una pérdida neta de \$4. Implying a bad investment. But at the same time I could land up with \$ 40 también pero con una probabilidad muy baja. Básicamente deseo simular algo así para ver si incluso "vale la pena" - básicamente una señal visual/prueba de lo mismo.

Answer 1

El problema general de optimización para la gestión de carteras es el siguiente:

$$ \min x Q x $$

donde $x$ es el vector de asignación de su problema, y $Q$ es la matriz de covarianza de todas sus posibles inversiones.

En tu ejemplo, puedes calcular la expectativa $E[x]$ la varianza $Var[x]=E[x^2]-E[x]^2$ y el covariano $cov[x,y]=E[xy]-E[x]E[y]$ bastante fácil para cada apuesta $x$ , este último le da la $Q$ necesario para el problema.

Como decía @cardinal en su comentario, si no añades ninguna restricción, la cartera óptima es en ese caso la de menor varianza y por tanto, la que no tiene ninguna posición.

En primer lugar, para que el problema tenga sentido, hay que añadir:

$$x_i \geq 0 \quad \forall i$$

Además, querrá añadir es una restricción que es la siguiente:

$$\sum_i x_i=n$$

lo que significa que debe invertir el importe total $n$ en el juego.

Pero esto todavía no le dará un ejemplo interesante.

De hecho, usted quiere poner otra restricción a la rentabilidad esperada de su cartera de apuestas, que viene dada de la siguiente manera:

$$ \mu x \geq \bar{\mu}$$

Dónde $\mu$ es el vector de las expectativas de todas las apuestas y $\bar{\mu}$ es la rentabilidad mínima esperada de la cartera.

Por último, para que el resultado sea interesante, es conveniente elegir $\bar{\mu}$ para ser igual a la de la expectativa de las apuestas. Debería poder encontrar que, para el mismo rendimiento esperado, podría tener una menor volatilidad invirtiendo en diferentes apuestas.

Puede ejecutar esto en MATLAB utilizando fmincon por ejemplo, o simplemente puedes crear una hoja de cálculo Excel y utilizar el solucionador.

Monte-Carlo no es realmente útil aquí, es sólo teoría moderna de la cartera . Para una representación gráfica, basta con dibujar un frontera eficiente .