Cuál es el numerario para la medida del mundo real $\mathbb{P}$ ?

Question

Conocemos los numerarios de la medida a plazo, de la medida de riesgo neutro, etc. ¿Cuál es el numerario de la medida del mundo real? $\mathbb{P}$ ?

Answer 1

Dejemos que $N_t$ sea el numerario de la medida del mundo real $P$ . Sea $r$ sea el tipo libre de riesgo y $P^*$ sea la medida de riesgo neutral. Entonces, a partir de los resultados del cambio de medida estándar se debe tener $ \frac{dP^*}{dP} = \frac{e^{rt} N_0}{N_t} $ por lo que obtenemos el resultado general $$ \boxed{N_t = N_0 e^{rt} \frac{dP}{dP^*}} $$

Ahora en el caso particular de Black & Scholes - GBM de una dimensión que tenemos para el precio de las acciones bajo $P$ $$ \frac{dS_t}{S_t} = \alpha dt + \sigma dW_t $$ y de nuevo los resultados estándar nos dicen que $\frac{dP^*}{dP} = e^{-\frac{\lambda ^2}{2} t - \lambda dW_t}$ (donde $\lambda = \frac{\alpha - r}{\sigma}$ es el coeficiente de solvencia) y obtenemos $N_t = N_0 e^{(r+\frac{\lambda ^2}{2})t + \lambda W_t}$ . Ahora bien, si diferenciamos esa fórmula obtenemos $$ \frac{dN_t}{N_t} = \lambda dW_t + (r + \lambda ^2) dt= \frac{\lambda }{\sigma}\frac{dS_t}{S_t} + r \left(1 - \frac{\lambda }{\sigma}\right) dt $$ y vemos que el numerario $N_t$ es el valor de una cartera que invierte en cada instante una proporción $\lambda/\sigma $ de su valor en acciones y $1 - \lambda/\sigma $ de su valor en el activo libre de riesgo .

Answer 2

Para ampliar la respuesta de Antoine (que cubre el caso en que el mercado consiste sólo en una acción $S$ y un activo sin riesgo $r$ ). En el caso general, si la medida del mundo real $\mathbb{P}$ numéraire depende de una acción $S$ Entonces esto significa que cada activo tendrá su propia medida en el mundo real... lo que claramente no es el caso. Aquí hay que recurrir a un marco como el CAPM o el APT.

Si se asume un CAPM (o, más generalmente, un marco APT), la prima de riesgo (resp. primas si hay muchos factores) debe definirse con respecto al riesgo no diversificable, es decir, la cartera de mercado (resp. factores APT). La razón es que el riesgo idiosincrásico (también conocido como riesgo diversificable) de las acciones puede diversificarse, por lo que no hay una prima de riesgo que remunere la asunción de este riesgo.

En este caso:

• La numéraire real en este mercado es la llamada numéraire de mercado $M_t$ . Es el proceso que comienza en $M_0 = 1$ y con la volatilidad $\lambda_t$ la prima de riesgo (vector de primas de riesgo si tenemos muchos factores APT): $$\frac{dM_t}{M_t} = \lambda_t dW^\mathbb{P}_t$$

• Según este numeral, el rendimiento esperado de cada activo financiero $S$ en este mercado viene dado por: $$\mu^S_t = r_t + \langle \frac{dM_t}{M_t}, \frac{dS_t}{S_t} \rangle_t $$ De forma equivalente, si denotamos la covarianza instantánea como $\sigma^{S,M}_t$ podemos escribir (estilo CAPM o APT): $$\mu^S_t - r_t = \frac{\sigma^{S,M}_t}{\sigma^{M,M}_t} (\mu^M_t - r_t)$$

• Los siniestros se pueden tasar utilizando la medida del mundo real y este numéraire así:

$$\text{Price}_t = \mathbb{E}^\mathbb{P}\left[\text{Payoff}_T \frac{M_t}{M_T} | \mathcal{F}_t \right]$$

Esto es lo que se hace en los seguros, por ejemplo, donde los siniestros se valoran como la expectativa de los valores terminales descontados bajo la medida del mundo real.

• Un cambio de medida de $\mathbb{P}$ a la probacion neutral de riesgo $\mathbb{Q}$ elimina la prima de riesgo del término de deriva, dejando sólo el tipo libre de riesgo $r_t$ y viceversa, un cambio de $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{P}$ añade la prima de riesgo al término de deriva.

En resumen :

• Cada mercado se caracteriza plenamente por su llamado numéraire de mercado, que depende de las primas de riesgo.
• En este numéraire, la deriva de un determinado activo viene dada por el tipo libre de riesgo y la covarianza instantánea entre el numéraire de mercado y el activo;
• y las reclamaciones pueden ser valoradas tomando la expectativa bajo la medida del mundo real.