¿Existe siempre una volatilidad implícita para una opción binaria?

Question

Estoy intentando calcular la volatilidad implícita de una opción binaria, pero no consigo que algunos de los strikes alcancen una solución convergente utilizando un modelo de precios de Monte Carlo o un modelo analítico de Black Scholes, minimizando mediante el método de Newton. Dado que las binarias son esencialmente la derivada de una opción de compra vainilla con respecto al precio de ejercicio, ¿es posible calcular siempre una volatilidad implícita?

Answer 1

No, hay un límite superior para el valor de una opción binaria, basado en el tipo de interés y en la cantidad de distribución que se puede empaquetar bajo la región de pago. Esencialmente

$$C = e^{-rT} \int_K^\infty \psi(S_T) dS_T$$

para las llamadas y

$$ P = e^{-rT} \int_0^K \psi(S_T) dS_T$$

para la venta. Ninguna de las integrales puede superar nunca el 1,0 y a menudo adoptan un máximo menor en $\sigma$ .

Si se trabaja con precios de venta en el mercado, es muy posible que estén por encima del máximo de Black-Scholes, especialmente para las opciones de venta binarias.

Answer 2

Por supuesto, siempre es posible encontrar la volatilidad implícita. El valor de llamada binaria es $$ {e}^{-r(T-t)}N(d_2) $$ donde $$ d_2=\frac{ln(\frac{S}{E})+(r-D-\frac{\sigma^2}{2})\tau}{\sigma\sqrt\tau} $$

Ahora, no hay nada que pueda detener el método de Newton Raphson para encontrar un $\sigma$ para el que se da el valor de la llamada binaria y es

• positivo
• si ese valor dado es BC entonces esencialmente $$ 0<BC<{e}^{-r\tau} $$

Simplemente, cambie su código para cambiar incrementalmente el valor del error así como el punto de partida en el newton raphson hasta que alcance la solución correcta. Nota: Utilice la aproximación de la función CDF, ya que es mejor en los extremos que el Excel construido en NormsDist $$ d = \frac{1}{1 + 0.2316419 * |x|} $$ $$ a_1 = 0.31938153 $$ $$ a_2 = -0.356563782 $$ $$ a_3 = 1.781477937 $$ $$ a_4 = -1.821255978 $$ $$ a_5 = 1.330274429 $$

$$ y = d * (a_1+d*(a_2+d*(a_3+d*(a_4+d*a_5)))) $$ $$ cdf = 1 - \frac{1}{(2\pi)^2} * e^{(-0.5x^2)} * y $$

Excepto cuando Si x < 0, entonces $$ cdf = 1 - cdf $$

Answer 3

La volatilidad implícita se utiliza para explicar el precio de mercado, generalmente de las opciones vainilla. Los valores de las opciones binarias van a cero cuando $\sigma \rightarrow \infty $ . El aumento de la volatilidad no incrementa el precio como ocurre con las opciones vainilla. Puede otro pregunta que arroja más luz . Los binarios SPZ cotizados en CBOE en SPX están completamente fuera del rango de valores binarios máximos. Tanto la oferta como la demanda son más altas.

Las binarias, como usted sabe, son un derivado de las opciones vainilla, por lo que es mejor limitar la volatilidad implícita a las opciones vainilla y luego explicar la diferencia en las binarias en términos de factores de mercado como el sesgo, la oferta/demanda, la liquidez. En ese sentido, la volatilidad implícita no es calculable en el sentido tradicional o no existe. Espero que esto lo explique todo.

Answer 4

A menos que el valor de la opción sea exactamente 50, sí, hay un volatilidad implícita. Escribí un programa para calcularla, e incluso solía publicar la volatilidad implícita de NADEX regularmente durante un par de años.

Aquí está la subrutina en Perl (de https://github.com/barrycarter/bcapps/blob/master/bclib.pl#L1525 )

=item bin_volt($price, $strike, $exp, $under) 

Computes the volatility of a binary option, given its current $price, 
the $strike price, the years to expiration $exp, and the price of the 
underlying instrument $under 

=cut 

sub bin_volt { 
 my($price, $strike, $exp, $under) = @_; 
 if ($price == 50 || $price == 100 || $price ==0) {return 0;} 
 return log($strike/$under)/udistr($price/100)/sqrt($exp); 
} 

donde "udistr" es la inversa del acumulado para la distribución normal. La derivación:

• El valor de la opción es el porcentaje de probabilidad de que el subyacente valga más que el precio de ejercicio al vencimiento.

• Si el subyacente tiene una volatilidad anual vol El desviación estándar del logaritmo de su precio durante un año es vol por definición.

• Para exp años, la desviación estándar de log(price) es sqrt(exp)*vol

• Ahora calculamos el número de desviaciones estándar entre el logaritmo del precio de ejercicio y el logaritmo del precio actual del subyacente. Este cálculo es:

  (log(strike)-log(under))/(sqrt(exp)*vol) (nótese que I uso log(strike/under) en mi código, que es equivalente)

• Una vez que conozcamos este valor, podemos utilizar el acumulativo función de distribución acumulativa de la distribución normal para calcular la probabilidad de que el subyacente supere el precio de ejercicio al vencimiento:

price = 1-CDF[(log(strike)-log(under))/(sqrt(exp)*vol)]

• Podemos entonces desentrañar esta ecuación (y hacer algunas simplificaciones) para hallar la volatilidad implícita, como se ha indicado anteriormente.

• Tenga en cuenta que asumo que se trata de opciones a corto plazo, y que el tipo de interés libre de riesgo se puede ignorar con seguridad ignorar.

Answer 5

Un fuera-de-el dinero opción binaria call tendrá dos volatilidades implícitas. Después de la primera volatilidad implícita de seguir buscando en cada vez más altas volatilidades implícitas. Después de un tiempo la opción binaria call de precio no sube más, es decir, el binario de la llamada vega baja a cero y, a continuación, la opción binaria call precio empieza a caer como la volatilidad implícita sigue aumentando, es decir, la vega pasa a ser negativo.

Por qué existe esta condición se debe a que el valor de un fuera-de-the-money llamada restringida (aproximadamente 0.5), pero como la volatilidad implícita sigue en aumento, hay un aumento de la probabilidad de que la opción va a ser inútil.

No hay ningún punto en mí lo que demuestra esta aquí para probarlo vosotros mismos utilizando las ecuaciones anteriores.