No neutrales al riesgo medida tienen nada para enfrentar el riesgo de neutralidad en la teoría de la utilidad?

Question

O simplemente: ¿por qué se llama martingala equivalente medidas como el riesgo-neutral medidas?

En la utilidad o la teoría de juegos, si tenemos en cuenta las preferencias de la persona a ciertos resultados, se ocupan a menudo de las funciones de utilidad. Por ejemplo, si consideramos un inversionista con una función de utilidad de $U$ cuyo retorno de una cartera de $\Pi$ es $x_\Pi$, asumimos que él elija una cartera que maximiza su utilidad esperada $$ \Pi^* \quad\text{ tales que }\quad\mathsf E U(x_{\Pi^*}) = \sup_{\Pi}\mathsf E U(x\Pi). $$ En particular, decimos que un inversionista adverso al riesgo (riesgo-buscando) siempre que $U$ es cóncava (convexo). Decimos que un inversionista de riesgo-neutro cuando se $U(x) = ax + b$ es una función afín.

El riesgo-neutro de valoración de toma de expectativas w.r.t. martingala medidas equivalentes a las del mundo real - se utiliza en quant a financiar una gran cantidad de los efectos de valoración. Yo no entiendo la teoría detrás de este método, y la relación con los no-arbitraje de argumentos. Me pregunto, sin embargo, si existe alguna relación con el riesgo de neutralidad como en el párrafo anterior.

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Pensé en la idea siguiente: pensemos en un precio justo por un contrato (al momento de la escritura) como la más alta en la cual el agente va a comprar. El agente de $A$ con la utilidad de $U_A$ y la expectativa de precios de $\mathsf E_A$ tiene que hacer una elección entre el cero de la utilidad (cuando él no se compra con contrato) y $$ \mathsf E_AU_A(\mathrm e^{-rT}C_T - C_0) $$ donde $T$ es el vencimiento del contrato, $r$ es una tasa que se utiliza para calcular el valor presente de los futuros del flujo de efectivo, $C_T$ es la rentabilidad del contrato, $C_0$ es el precio del contrato. Por lo tanto, tenemos que resolver la ecuación $$ \mathsf E_AU_A(\mathrm e^{-rT}C_T - C_0) = 0 $$ con desconocido $C_0$. Suponiendo que el agente es neutrales al riesgo, obtenemos $$ C_0 = \mathrm e^{-rT}\cdot\mathsf E_A(C_T). $$ Al mismo tiempo, la fijación de precios mediante el $\Delta$-cobertura en el Negro \& Scholes marco nos da $$ C_0 = \mathrm e^{-rT}\cdot\mathsf E_Q(C_T) $$ donde $P$ es un riesgo-neutral medida. Por lo tanto, si suponemos que nuestro agente de riesgo neutral, entonces la altura de sus expectativas (al menos en un momento dado $T$) tiene que ser determinada exactamente por la medida $P$.

Answer 1

Un agente con la función de utilidad de $U$ valores a una posición final $X_T$ en $E\left[U(X_T)\right]$. Usted puede pensar en esto como una función de mapeo de variables aleatorias a $\mathbb{R}$, $X_T \mapsto E \left[U(X_T)\right]$.

Un riesgo-neutral asignación debe ser lineal en el mapeo de la clase anterior. En otras palabras, $f$ debe mapa de una parte del espacio de variables aleatorias a $\mathbb{R}$, y satisfacer $$a \cdot f(X_T) + b \cdot f(Y_T) = f(a \cdot X_T + b \cdot Y_T)$$ para escalar $a,b$.

El uso de una medida martingala, la valoración de la regla es de $X_T \mapsto E \left[ \frac{dQ}{dP} X_T \derecho]$. Tenga en cuenta que este es un lineal mapa. Por lo tanto, es como un neutrales al riesgo del agente de precio de las posiciones.