¿Cómo realizar integraciones básicas con la integral de Ito?

Question

Del libro de texto Finanzas cuantitativas para físicos: Una introducción (Academic Press Advanced Finance) Tengo este ejercicio:

Demostrar que

$$ \int_{t_1}^{t_2}W(s)^ndW(s)=\frac{1}{n+1}[W(t_2)^{n+1}-W(t_1)^{n+1}]-\frac{n}{2}\int_{t_1}^{t_2}W(s)^{n-1}ds $$

Sugerencia: Calcule $d(W^{n+1})$ utilizando el lema de Ito.

Este es mi cálculo:

Utilizo el Lemma de Ito y uso, como hace el libro de texto, el caso simplificado $\mu=0$ , $\sigma=1$ . Así que el lema de Ito se reduce a:

$$ dF=dt+2WdW $$

Ahora utilizo el Lemma de Ito aquí así:

$$ \int_{t_1}^{t_2}W(s)^ndW(s)=\int_{t_1}^{t_2}W(s)^{n-1}W(s)dW(s) $$

Porque $\mu=0$ , $\sigma=1$ tenemos $F=W^2$ y por lo tanto la integral es igual: $$ \int_{t_1}^{t_2}F^\frac{n-1}{2}\frac{dF}{2}-\int_{t_1}^{t_2}F^\frac{n-1}{2}\frac{dt}{2} $$ Una mayor simplificación: $$ \frac{1}{2}\frac{2}{n+1}F^\frac{n+1}{2}]_{t_1}^{t_2}-\frac{1}{2}W^{n-1}(t)dt=\frac{1}{n+1}W^{n+1}]_{t_1}^{t_2}-\frac{1}{2}W(t)^{n-1}(t)dt $$ Poniendo todo junto, obviamente, se obtiene: $$ \int_{t_1}^{t_2}W(s)^ndW(s)=\frac{1}{n+1}[W(t_2)^{n+1}-W(t_1)^{n+1}]-\frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2}W(s)^{n-1}ds $$

El segundo término carece de un factor $n$ .

¿Qué estoy haciendo mal? ¿O el libro está equivocado? (Por cierto, para $n=1$ esto es coherente con el libro. Para $n=1$ También pude calcular la integral utilizando la suma $\lim_n\sum$ .... Pero esto parece demasiado complicado para el caso general).

Además tengo problemas para entender por qué tengo que usar la ecuación diferencial. ¿O es que tengo que ver $W$ como $W=W(F,t)$ ?

Editar: Se han eliminado algunas líneas...

Answer 1

Creo que deberías ver la pista de la siguiente manera:

$$d(W_t^{n+1})=d(f(W_t))$$ con $$f(x)=x^{n+1}$$

Aplicar Ito:

$$d(W_t^{n+1}) = f'(W_t)dW_t + \frac{1}{2} f''(W_t) d<W>_t$$

$$d(W_t^{n+1}) = (n+1) W_t^n dW_t + \frac{1}{2} n (n+1) W_t^{n-1} dt$$

Si se integra, se obtiene:

$$W_{t_2}^{n+1}-W_{t_1}^{n+1}=(n+1) \int_{t_1}^{t_2} W_t^n dW_t+ \frac{1}{2} n (n+1) \int_{t_1}^{t_2} W_t^{n-1} dt$$

Se dividen ambos lados por $(n+1)$ y ya está.

No estoy seguro de cómo utilizas el lema de Ito, quizás te has dejado engañar por alguna versión simplificada de algunos libros. Yo te recomendaría Cálculo estocástico elemental con finanzas a la vista si quieres una buena introducción al campo.

En cuanto a tus suposiciones, $\mu=0$ y $\sigma=1$ son las propiedades de un movimiento browniano después de un solo paso $W_1$ por definición.

Aquí el propósito del ejercicio es, en mi opinión, mostrarte que aplicando el lema de Ito, puedes acabar encontrando propiedades interesantes (una de las más famosas se mostró en este puesto ).