Precios sin riesgo en mercados incompletos

Question

Sé que para utilizar el principio de valoración sin riesgo, es decir, las opciones de precio como su función de pago bajo una medida de riesgo neutral, hay que tener un mercado completo.

Pero en el contexto de los mercados incompletos: ¿Qué representa el precio sin riesgo si la opción no es replicable? ¿Estoy en lo cierto al suponer que seguiría siendo un precio sin arbitraje, pero sin la posibilidad de eliminar el riesgo de la opción mediante una estrategia de cobertura?

Answer 1

P: ¿Qué representa el precio sin riesgo si la opción no es replicable?

En un mercado incompleto, no hay una única medida martingala sino un conjunto $Q$ de medidas martingales equivalentes . Por consiguiente, hay un intervalo de precios sin arbitraje:

$ \Big ( inf_{ \mathbf {Q} \in Q} E_{ \mathbf {Q}}[DX], sup_{ \mathbf {Q} \in Q} E_{ \mathbf {Q}}[DX] \Big )$ donde $E_{ \mathbf {Q}}[DX]$ es el pago con descuento esperado.

Este intervalo puede ser demasiado amplio para servirnos en la fijación de precios o en la creación de mercados.

P: ¿Estoy en lo cierto al asumir que seguirían siendo precios sin arbitraje?

Aquí seguiré la "Teoría del Arbitraje en Tiempo Continuo" de T. Björk. Björk se centra en un mercado incompleto donde hay más fuentes aleatorias que activos negociados. De lo contrario, las fricciones del mercado y los problemas de liquidez prohíben la réplica de los pagos.

Citando a Björk (página 209):

En particular, si tomamos el precio de un "punto de referencia" en particular derivados a priori, luego los precios de todos los demás derivados estará determinado únicamente por el precio del punto de referencia

Si tenemos dos reclamaciones $Y$ y $Z$ cuya dinámica sigue: $$ \Pi (t;Y) = F(t, X(t)) $$ $$ \Pi (t,Z) = G(t, X(t)$$

Todavía podemos armar un portafolio basado en $F$ y $G$ .

$$dF = \alpha_F F dt + \sigma_F F dW$$ $$dG = \alpha_G G dt + \sigma_G G dW$$

donde

$$ \alpha_F = \frac {F_t + \mu F_x + \frac {1}{2} \sigma ^2F_{xx}}{F}$$ $$ \sigma_F = \frac { \sigma F_x}{F} $$

y en consecuencia para $ \alpha_G $ y $ \sigma_G $

Luego sigue la dinámica de la cartera de autofinanciación:

$$dV = V \big ( u_F \alpha_F + u_G \alpha_G \big ) dt + V \big ( u_F \sigma_F + u_G \sigma_G \big ) dW$$

Podemos hacer que la cartera local sin riesgos se imponga: $$u_F + u_G = 1$$ $$u_F \sigma_F + u_G \sigma_G = 0$$

Lo anterior conduce a:

$$dV = V \frac { \alpha_G \sigma_F - \alpha_F \sigma_G }{ \sigma_F - \sigma_G } dt$$

Ya lo sabemos:

$$ \frac { \alpha_G \sigma_F - \alpha_F \sigma_G }{ \sigma_F - \sigma_G } = r$$

Por lo tanto:

$$ \frac { \alpha_F -r}{ \sigma_F } = \frac { \alpha_G -r}{ \sigma_G } $$

Esto significa que todos los productos derivados comparten el mismo precio de mercado del riesgo. Por lo tanto, tal vez no sea posible reproducir el resultado, pero sí extraer información (el precio de mercado del riesgo) del mercado de derivados.

¿Qué pasa si no se dispone de un derivado "de referencia"? Existen diferentes estrategias cuyo objetivo principal es limitar el intervalo de los precios libres de arbitraje permitidos de manera que sea posible definir un margen entre la oferta y la demanda. Por ejemplo:

• Precios de indiferencia: la idea es identificar una recompensa que, bajo una función de preferencia, sería indiferente para el inversor
• Minimizar el riesgo de cobertura con una cartera bajo una función de utilidad específica

Ver por ejemplo este y este .