Forma correcta para encontrar la media de anual geométrico de las devoluciones de los rendimientos mensuales?

Question

Decir que me he dado un conjunto de declaraciones mensuales de más de 10 años sobre una base mensual. ¿Cuál es la forma correcta para encontrar la geometría de las devoluciones de estos datos? Lo pregunto porque un compañero de clase y yo estamos en diferentes lados de la moneda.

He encontrado el acumulado de devoluciones de cada año, después se dio la media geométrica de los 10 años. Él encontró el acumulado de la devolución de la totalidad del período de tiempo, a continuación, tomó la (meses en un año / total de meses) a raíz de los datos.

Los números resultan ser muy estrecha, pero si recuerdo correctamente los míos son ligeramente más bajos a lo largo de todos los fondos que se mide.

O es que hay una manera diferente y ambos estamos equivocados?

Answer 1

Si lo entiendo correctamente, tu pregunta es si esto es cierto:

\begin{ecuación} \sqrt[10]{\prod_{i=1}^{10}{Y_i}} < \sqrt[10]{Un} \end{ecuación}

donde $Y$ es el anual acumulativa devuelve (el método), y $A$ es en absoluto la rentabilidad acumulada (su compañero de clase del método).

Entonces la pregunta es si se puede encontrar esta relación:

\begin{ecuación} \prod_{i=1}^{10}{Y_i} < A \end{ecuación}

Pero eso no puede ser! La absoluta acumulada de retorno debe ser igual a la del producto de la anual acumulativa devuelve. Así que si tu retorna no se multiplican a su retorno absoluto, entonces uno de ustedes ha cometido un error.

Si usted cree que su y sus matemáticas son correctos, entonces el culpable es el más probable un error de redondeo.

Answer 2

@chrisaycock ya te dio una respuesta correcta, pero yo pensaba que iba a añadir una versión más detallada (y la práctica de algunos MathJax por el camino).

De hecho, cuando empecé a contestar pensé que iba a ser una respuesta sencilla, pero de haber pasado más tiempo con esta pregunta, veo que hay algunas trampas potenciales que pueden caer en el.

Sobre todo porque algunos de los pasos que el nombre no está 100% claro, supuse que el peor de los casos (AKA todo mal). Supongo que algunos de ellos son sólo taquigrafía nociones. Lo siento si ya hacerlo de la manera correcta, y es obvio que está mal hacer mis explicaciones ridículo, pero al menos uno de los pasos es la culpa, como se están obteniendo resultados diferentes.

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Por lo tanto, va a través de su tarea:

• Say I'm given a set of monthly returns over 10 years on a monthly basis.

Vamos a llamarlos

$$ r_{1_{jan}}, \ ...,\ r_{1_{dec}}, \ ...,\ r_{10_{jan}}, \ ...,\ r_{10_{dec}} \ [eq. 1] $$

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Lo que tienes que hacer es:

• I found the cumulative returns of each year

Su rentabilidad acumulada durante un año es un producto de los rendimientos mensuales:

$$ R_{i} = (1+r_{i_{jan}}) * \ ... \ * (1+r_{i_{dec}}) - 1 \ [eq. 2] $$

OK, sencillo. No se que muchas opciones aquí.

• then found the geometric mean of the 10 years

si te refieres a que , literalmente, (me advirtió que me iba a tomar el peor camino posible, lo siento), como en encontrar la media geométrica de los 10 devuelve:

$$ R_{G} = \sqrt[10]{R_{1} * R_{2} * \ ... \ * R_{10}} \ [eq. 3] $$

tenemos nuestro primer problema. Aunque técnicamente se puede calcular cualquier cosa (siempre y cuando no negativo), no tiene sentido. Estamos buscando una media geométrica de la tasa de retorno en su lugar:

$$ R_{G} = \sqrt[10]{(1 + R_{1}) * (1 + R_{2}) * \ ... \ * (1 + R_{10})} - 1 \ [eq. 4] $$

OK, listo, debería ser la respuesta correcta.

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Tu compañero de clase de la versión:

• He found the cumulative returns of the entire time period,

Se calcula que sea de esta manera:

$$ AR = (1+r_{1_{jan}}) * \ ... \ * (1+r_{1_{dec}}) * \ ... \ * (1+r_{10_{jan}}) * \ ... \ * (1+r_{10_{dec}}) - 1 \ [eq. 5] $$

o simplemente usa $\frac{P_{pasado}}{P_{primero}} - 1$, que es el mismo. No hay problema aquí.

• then took the (months in a year / total months) root of that data.

Primera suposición - supongo que significaba el poder aquí (o total months / months in a year root), ya que de lo contrario no tendría mucho sentido.

Ahora, si nosotros , literalmente, tomar la raíz de la acumulación de beneficios ($AR$):

$$ \sqrt[\frac{120}{12}]{AR} = \sqrt[10]{(1+r_{1_{jan}}) * \ ... \ * (1+r_{1_{dec}}) * \ ... \ * (1+r_{10_{jan}}) * \ ... \ * (1+r_{10_{dec}}) - 1} \ [eq. 6] $$

usando $[eq. 2]$ obtenemos:

$$ = \sqrt[10]{(1+R_{1})*(1+R_{2})* \ ... \ * (1+R_{10}) - 1} $$

Vaya, parece similar a $[eq. 4]$, pero no es el mismo. Hicimos algo mal.

De hecho queríamos hacerlo de esta manera (recordar que estamos buscando rendimientos anuales):

$$ R_{G} = \sqrt[10]{1 + AR} - 1 \ [eq. 7] $$

Ahora enchufar $[eq. 5]$ y $[eq. 2]$:

$$ = \sqrt[10]{1 + (1+R_{1})*(1+R_{2})* \ ... \ * (1+R_{10}) - 1} -1 $$

$$ = \sqrt[10]{(1+R_{1})*(1+R_{2})* \ ... \ * (1+R_{10})} - 1 $$

y esto es igual a $[eq. 4]$

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Esta forma de ver que ambos métodos dan resultados equivalentes. Si no es así, entonces es un error de cálculo/redondeo tema o estás utilizando diferentes métodos y alguien que no es el cálculo real de la media geométrica de la tasa de retorno.

Espero que ahora usted puede encontrar donde estaba el tema.

Answer 3

Supongo que tiene neta simple mensual de devoluciones. 12 meses y 10 años le da 120 rendimientos mensuales $r_1, r_2,...,r_{120} $. Quieres saber anual geométrica de retorno. Luego de resolver por $ r_g:$

$$ (1+r_1)\times(1+r_2)\times \dots \times(1+r_{120})=(1+r_g)^{10}$$

El orden de la multiplicación en el LHS es importante, que es, usted debe comenzar a multiplicar con la más antigua de retorno ($r_1$).