Adivinar y verificar

Question

En programación dinámica, el método de coeficientes indeterminados se conoce a veces como "adivinar y verificar". Periódicamente he oído que hay conjeturas canónicas que uno puede hacer.

En particular, he visto

$V(k) = A + B\ln(k)$

$V(k) = \frac{Bk^{1-\sigma}}{1-\sigma}$

El primero se aplica a la utilidad del registro, mientras que el segundo está relacionado con las preferencias de la CRRA. ¿Qué otras conjeturas canónicas existen, y están generalmente ligadas a la forma particular de la función de retorno?

Editar : Para aquellos que no estén familiarizados con los programas dinámicos, lo que estamos tratando de hacer aquí es llegar a formas cerradas para los coeficientes ( Por ejemplo $A$ y $B$ ). Para simplificar, la ecuación funcional suele adoptar la forma genérica $V(k) = \max\bigl\{F(k,u) +\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)\bigr\}$ , donde $g(\cdot,\cdot)$ describe la evolución de la variable de estado $k$ . Esencialmente, el valor de estar en el estado $k$ hoy depende de la función de retorno de hoy $F(k,u)$ y algún valor descontado de lo que sea $k$ va a ser mañana $\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)$ . $u$ representa cualquier otra variable no estatal que creas que influye en el rendimiento.

A veces es posible obtener una solución de forma cerrada para $V(k)$ (...nota: no sólo resolvemos para $V(k)$ ya que el lado derecho es una cantidad maximizada). Esto suele implicar saber algo sobre la función de retorno $F(k,u)$ y luego hacer una conjetura sobre la forma funcional de $V(k)$ . Podemos entonces iterar para ver si nuestra conjetura da una solución de forma cerrada para $V(k)$ . En particular, esto incluiría formas cerradas para los coeficientes en la conjetura (de ahí el método de los coeficientes indeterminados).

Answer 1

Otra forma algo canónica es la función de valor para las preferencias sensibles al riesgo cuando el consumo sigue un paseo aleatorio con deriva (también hay versiones que incluyen el capital - véase Backus Ferriere Zin 2014).

$$c_t = \mu + c_{t-1} + \sigma_c \varepsilon_{t}$$

Comience con las preferencias dadas como Epstein-Zin con una función de equivalencia de certeza de la forma $\mu_t(x) = E_t[x_{t+1}^\alpha]^{\frac{1}{\alpha}}$ :

$$V_t = \left( (1 - \beta) C_t^{\rho} + \beta \mu_t(V_{t+1}) \right)^{\frac{1}{\rho}}$$

luego dejar que $\rho \rightarrow 0$ nos da

$$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[\mu_t(V_t) \right]^{\beta}$$ $$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[E_t[V_t^{\alpha}]^{\frac{1}{\alpha}} \right]^{\beta}$$

Si se toman los troncos, se obtienen preferencias sensibles al riesgo, como se presenta en Hansen Sargent 1995, Tallarini 2000, etc.

Definir $U_t = \log(V_t)/(1-\beta)$ y $\theta = \frac{-1}{(1-\beta) \alpha}$ entonces vemos que:

$$U_t = \log(C_t) - \beta \theta \log \left[ E_t \left[ \exp \left( \frac{-U_{t+1}}{\theta} \right) \right] \right]$$

La forma de esta función de valor puede adivinarse como

$$U_t = \gamma_0 + \gamma c_t$$

Referencias:

• David Backus, Axelle Ferriere y Stanely Zin. Risk and Ambiguity in Models of Business Cycles. Conferencia Carnegie-Rochester-NYU. 2014.
• Lars Ljunqvist y Thomas J. Sargent. Recursive Macroeconomic Theory, 3ª edición. 2013.
• T.D. Tallarini Jr. Ciclos económicos reales sensibles al riesgo. Journal of Monetary Economics. 2000.
• L.P. Hansen y T.J. Sargent. Discounted linear exponential quadratic gaussian control. IEEE Trans Automatic Control. 1995.

Comentario adicional: Los dos casos que presentas están más o menos cubiertos por la conjetura $V(k) = A + B \frac{k^{1-\sigma}}{1 - \sigma}$ ya que esto se reduce a troncos como $\sigma \rightarrow 1$ . Las conjeturas están ciertamente ligadas a la forma particular de la función de retorno, ya que la función de valor está relacionada con la función de retorno (recompensa) de un período obtenida repetidamente a lo largo de una historia infinita (si el consumo fuera constante entonces se reduciría a una suma geométrica).