Desde un punto de vista cuántico, ¿cómo explicaría el cálculo de Malliavin en pocas palabras? Tengo el nivel para hacer estos cursos, pero no podré hacerlo el año que viene, así que quiero saber qué me falta.
¿Qué aportarían a alguien que ya ha aprendido el Cálculo estocástico con la integral de Ito?
¿Serían más útiles para el front office o para el middle office?
Creo que esta pregunta no tiene una respuesta fácil, pero lo intentaré de todos modos (cuidado: ¡se simplifica demasiado!).
La idea principal del Cálculo de Malliavin es poder diferenciar procesos estocásticos como Movimiento browniano (o más general martingalas con variación cuadrática acotada), que no son diferenciables en el sentido tradicional (por su variación infinita).
En la medida en que el cálculo de Malliavin es la contrapartida natural para la diferenciación estocástica a lo que el Cálculo de Ito es para la integración estocástica.
Una de las aplicaciones prácticas del cálculo de Malliavin es en el ámbito del cálculo de opción griegos lo que tiene sentido ya que se sospecha que se necesitan derivadas para calcularlas.
El principal problema del enfoque tradicional es que hay que aproximar la derivada mediante el método de differencia finita y esas aproximaciones pueden llegar a ser muy aproximadas. La fórmula de integración por partes obtenida del cálculo de Malliavin puede transformar una derivada en una integral ponderada de variables aleatorias. Esto da una solución numérica más precisa y de rápida convergencia que la obtenida por el método clásico.
Algunas partes de la siguiente tesis (en la que también se basan algunas partes de esta respuesta) podrían ser útiles para profundizar en el asunto: El cálculo de Malliavin por Han Zhang .
Para profundizar en las aplicaciones prácticas (¡además de una introducción al cálculo de Malliavin al final!) se puede encontrar aquí: Smart Monte Carlo: varios trucos con el cálculo de Malliavin por Eric Benhamou .
Si tienes algo de experiencia en modelos de fractales múltiples, puedes echar un vistazo aquí: quant.stackexchange.com/questions/8242/multi-fractals-models
Si quieres una respuesta realmente intuitiva, he pensado en dos cosas para explicar la idea clave:
Desde el punto de vista de un estudiante de máster:
Supongamos que $\xi \sim N(0, \sigma^2)$ demostrar que..:
$\mathbb{E}[f(\xi)\xi] = \sigma^2 \mathbb{E}[f'(\xi)] = \mathbb{E}[\xi^2]\mathbb{E}[f'(\xi)]$
Una explicación financiera más intuitiva podría ser la siguiente:
Considere que tiene una opción binaria, con un pago como el que se muestra a continuación:
Esencialmente, tomar una diferencia finita (rojo) acaba creando problemas masivos en la discontinuidad, lo que puede hacer que perturbar la densidad subyacente del precio de las acciones sea la idea correcta.
Es simple pero puede proporcionar una intuición básica.
FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
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Sugeriría dividir esto en dos preguntas separadas: una sobre el cálculo de Malliavin y otra sobre los modelos multifractales. A continuación, tal vez podría proporcionar algunos comentarios sobre el cálculo de Malliavin: mirar a la técnica de "esquema de simulación proxy" puede ser útil, ya que es un "análogo discreto" (en el nivel del esquema de discretización, como el esquema de Eurler) de lo que hace el cálculo de Malliavin en la configuración continua.
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Aquí tienes, gracias por tu comentario.
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Desde mi punto de vista, en su mayor parte inculto, uno de los propósitos es obtener formulaciones cuantitativas del teorema de la representación martingala, es decir, ir más allá de la existencia para construir realmente lo que debería ser el integrando en la representación.
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Me ha costado encontrar una introducción al tema de fácil lectura. ¿Has encontrado algo que se ajuste a lo que necesitas? Especialmente una que aborde el problema desde un punto de vista probabilístico, en lugar de analítico.