Considere una empresa con cero costo marginal. Si se da el producto de forma gratuita, a continuación, todos los que la demanda es satisfecha y el bienestar social aumenta por la cantidad máxima posible; llamar a este aumento de $W$.
Pero debido a que la empresa es un monopolio, se reduce la demanda y aumenta el precio con el fin de optimizar sus ingresos. Ahora el bienestar social aumenta por una cantidad menor, digamos, $V$.
Definir la pérdida relativa de bienestar (deadweight loss) como: $W/V$. Esta relación depende de la forma de la función de demanda. Así que mi pregunta es: es esta relación acotado, o puede ser arbitrariamente grande? En particular:
- Si $W/V$ es acotado, entonces para qué función de demanda es maximizado?
- Si $W/V$ es ilimitado, entonces para qué la familia de funciones de demanda puede convertirse arbitrariamente grande?
Aquí es lo que he intentado hasta ahora. Vamos a $u(x)$ ser el de los consumidores utilidad marginal de la función (que también es la inversa de la función de demanda). Asumir que es finito, suave, monótonamente decreciente, y se ajusta al dominio de $x\in[0,1]$. Vamos a $U(x)$ ser su anti-derivada. Entonces:
- $W = U(1)-U(0)$, el área total de $u$.
- $V = U(x_m)-U(0)$, donde $x_m$ es la cantidad producida por el monopolio. Esta es el área debajo de los $u$, excepto la "pérdida irrecuperable de eficiencia" parte.
- $x_m = \arg \max (x \cdot u(x))$ = la cantidad que maximiza el productor de ingresos (el rectángulo seleccionado).
- $x_m$ usualmente puede ser calculado usando la de primer orden condición: $u(x_m) = -x_m u'(x_m)$.
Para conseguir la sensación de cómo $W/V$ se comporta, traté de algunas familias de funciones.
Vamos a $u(x)=(1-x)^{t-1}$, donde $t>1$ es un parámetro. Entonces:
- $U(x)=-(1-x)^{t}/t$.
- El primer orden de condición da: $x_m=1/t$.
- $W=U(1)-U(0) = 1/t$
- $V=U(x_m)-U(0)=(1-(\frac{t-1}{t})^{t})/t$
- $W/V=1/[1-(\frac{t-1}{t})^{t}]$
Cuando $t\to\infty$, $W/V \a 1/(1-1/e)\aprox 1.58$, así que para esta familia, $W/V$ es acotada.
Pero, ¿qué sucede con otras familias? Aquí está otro ejemplo:
Vamos a $u(x)=e^{-t x}$, donde $t>0$ es un parámetro. Entonces:
- $U(x)=-e^{-t x}/t$.
- El primer orden de condición da: $x_m=1/t$.
- $W=U(1)-U(0) = (1-e^{-t})/t$
- $V=U(x_m)-U(0)=(1-e^{-1})/t$
- $W/V=(1-e^{-t})/(1-e^{-1})$
Cuando $t\to\infty$, nuevo $W/V \a 1/(1-1/e)\aprox 1.58$, así que aquí de nuevo $W/V$ es acotada.
Y un tercer ejemplo, que yo tenía que resolver numéricamente:
Vamos a $u(x)=\ln(a-x)$, donde $a>2$ es un parámetro. Entonces:
- $U(x)=-(a-x)log(a-x)-x$.
- El primer orden de condición da: $x_m=(a-x_m)\ln(a-x_m)$. El uso de este desmo gráfico, me enteré de que $x_m \aprox 0.55(a-1)$. Por supuesto, esta solución sólo es válida cuando $0.55(a-1)\leq 1$; de lo contrario, nos dan $x_m=1$ y no hay ninguna pérdida irrecuperable de eficiencia.
- Utilizando el mismo gráfico, me enteré de que $W/V$ es la disminución de la con $un$, por lo que su supremum valor es cuando $a=2$, y es aproximadamente 1.3.
Existe otra familia de finito de funciones para los cuales $W/V$ puede crecer infinitamente?
