CAPM, DCF y la desigualdad de Jensen

Question

Una forma de valorar un flujo de caja es calcular primero la rentabilidad esperada a partir del CAPM, y luego utilizar la rentabilidad esperada para descontar los flujos de caja futuros.

El problema aquí es que el rendimiento esperado del CAPM es un promedio $\mathrm{E}[R]$ y por lo tanto, por la desigualdad de Jensen:

$$\mathrm{E}\left[\frac{1}{R}\right] \ge \frac{1}{\mathrm{E}[R]}$$

Entonces me pregunto por qué la gente usa $\frac{1}{\mathrm{E}[R]}$ para descontar los flujos de caja.

Para aclararlo, utilizaré un ejemplo.Supongamos que sólo hay un flujo de caja de \$100 a year from now I want to value. According to CAPM, the expected return is $$\bar {R}_a = R_f + \beta_a ( \bar {R}_m - R_f)$$

Tenga en cuenta que la devolución $R$ se define como $R=\frac{S_{t+1}}{S_t}$ .

Ahora el problema aquí es que $\bar{R}_a$ representa un rendimiento medio del año siguiente. El rendimiento real $R_a$ es una variable aleatoria que no se conoce en este momento. En otras palabras, $\bar{R}_a=\mathrm{E}[R_a]$ pero $R_a$ es aleatorio, y realizará diferentes valores en diferentes universos alternativos.

Sin embargo, lo que suelo ver es que valoramos el \$100 cashflow a year from now as $$\frac {100}{ \bar {R}_a}= \frac {100}{ \mathrm {E}[R_a]}$$

Pero ¿no debería valorarse como $$\mathrm{E} \left [ \frac{100}{R_a} \right]$$ ?

Pero según la desigualdad de Jensen: $$\mathrm{E} \left [ \frac{100}{R_a} \right] \ge \frac{100}{\mathrm{E}[R_a]}$$

Answer 1

Lo que te falta es que el propio flujo de caja también es una variable aleatoria. Evaluamos el riesgo relacionado con ese flujo de caja relacionándolo con una medida lineal de riesgo que se expresa en términos de varianza y covarianza... por feliz accidente esto resulta ser beta, y si el CAPM realmente funciona, resulta que nos facilita la vida.

Si se reescribe el CAPM en términos de precios en lugar de rendimientos, se obtiene algo parecido a

https://en.wikipedia.org/wiki/Capital_asset_pricing_model#Asset_pricing

$$P_0=\frac{1}{1+r_f}\left[\mathrm{E}(P_T) - \frac{ \mathrm{Cov}(P_T;R_M)(\mathrm{E}(R_M)-r_f)}{\mathrm{Var}(R_m)}\right]$$

Así que no está descontando con un valor esperado...

Lo que nos dice esta fórmula es que el valor actual esperado del flujo de caja no es el precio adecuado para un inversor con aversión al riesgo. El inversor con aversión al riesgo requiere una prima de riesgo adicional...

Answer 2

Creo que la desigualdad de Jensen en este contexto es relevante para promediar el rendimiento en el tiempo. Y que cuando se descuenta a lo largo de múltiples períodos, es necesario tener en cuenta la convexidad.

Es decir, no podemos simplemente descontar a lo largo de múltiples períodos utilizando $$\frac{1}{(1+\sum{R_t})}$$ como factor de descuento. Tenemos que usar realmente $$\frac{1}{\prod{(1+R_t)}}.$$

El CAPM es un modelo de un solo periodo. Así que lo utilizamos para valorar un único flujo de caja, formamos una estimación ex-ante de la beta que se relaciona con ese flujo de caja específico, y que es proporcional al riesgo de ese flujo de caja en particular. Y esta beta se aplica a una horison concreta. El tipo de descuento resultante calculado se refiere a ese horizonte temporal concreto.

Cuando descontamos una corriente de flujos de caja, tenemos que hacerlo para cada flujo de caja para ser coherentes con la naturaleza de un solo período de un modelo como el CAPM.

Si hacemos la suposición simplificadora de que todas las betas de los flujos de caja son iguales, entonces podríamos sortear el problema que usted menciona trabajando sistemáticamente con tasas compuestas continuamente, de modo que $$\frac{1}{\mathrm{exp}(\sum{R_t})}=\frac{1}{\prod{\mathrm{exp}{(R_t)}}}.$$

Sin embargo, el uso de esta suposición simplificadora es problemático.

Cuando se valora un flujo de caja único, se necesita un rendimiento esperado para la representación del mercado durante ese periodo concreto así como un tipo de interés libre de riesgo durante un período determinado y una beta estimada a futuro durante un período determinado .

Supongo que se podría intentar utilizar la duración de Macaulay de los flujos de caja como el periodo de tiempo "medio" para determinar las entradas deseadas. Pero entonces realmente estamos empezando a desviarnos significativamente del uso previsto del CAPM.

Otra cuestión, sin embargo, es la validez del CAPM en la determinación de los tipos de descuento, pero esa es una discusión diferente en conjunto, supongo.

No estoy seguro de haber respondido a la pregunta, ya que no estoy completamente seguro de cuál es la pregunta.

Answer 3

Tiene razón en que falta algo: el riesgo de ambigüedad. Dos proyectos pueden tener el mismo $\hat{\beta}$ pero podría estar más seguro en su estimación de $\beta$ para uno de los proyectos. En un modelo de un solo periodo, en igualdad de condiciones, es probable que prefiera el que conoce mejor (aversión a la ambigüedad). En un modelo multiperiodo, podría valorar el aprendizaje y elegir el proyecto incierto.

En el modelo estándar, la prima de riesgo de mercado y $\beta$ se tratan como constantes conocidas y no como variables aleatorias.