Hipótesis de normalidad logarítmica en la fijación de precios de los activos basados en el consumo

Question

Consideremos un problema muy básico de maximización del consumidor representativo en tiempo discreto con utilidad CRRA. Existe un activo de riesgo con tiempo $t$ precio $p_t$ que paga el tiempo $t+1$ dividendos $d_{t+1}$ y un activo sin riesgo con precio $p_t^f$ que paga una recompensa constante 1 en $t+1$ . Suponemos que los dividendos son una secuencia de variables aleatorias que siguen un proceso de Markov. Supongamos además que el consumidor no tiene otros flujos de ingresos (es decir $y_t = 0 \ \forall t$ ). En el momento t el consumidor invierte la cantidad $\pi_t$ en el activo de riesgo y el importe $\pi_t^0$ en el activo sin riesgo. Por lo tanto, el problema de maximización se puede plantear como

\begin{align*} & \underset{\{ c_t, \pi \}_0^\infty}{\text{max}} \ \ E_0 \sum_{t=0}^\infty \ \beta^t \ \frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} \\ \\ \ s.t \ \ \ \ & c_t + \pi_t p_t + \pi_t^0 p_t^0 = (d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0 \\ & c_t \geq 0 \end{align*}

Digamos que queremos encontrar el tipo de interés sin riesgo de equilibrio y la prima esperada de las acciones. Para cerrar el modelo, se suele suponer (véase, por ejemplo, el libro de Claus Munk Teoría del precio de los activos financieros capítulo 8.3) que el crecimiento del consumo logarítmico y los rendimientos brutos logarítmicos se distribuyen conjuntamente de forma normal. Es decir

\begin{align*} & ln \ \Big(\dfrac{c_{t+1}}{c_t} \Big) \equiv \bar{g}_{t+1} \sim N(\mu_g, \sigma_g^2) \\ & ln R_{t+1} \equiv \bar{r}_{t+1} \sim N(\mu_r, \sigma_r^2) \ , \\ \end{align*}

donde los rendimientos brutos se definen como $$R_{t+1} \equiv \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \ .$$

Lo que no entiendo del todo es de dónde "salen" los supuestos de la distribución log-normal. Sé que al tratarse de una economía de agente representativo, el consumo del agente debe ser igual al dividendo agregado en la economía. Pero como asumimos que no hay ingresos, $y_t = 0 \ \forall t$ el único proceso de dividendo exógeno en la economía es $d_t$ y, por tanto, debería tener la misma distribución que el crecimiento del consumo. Sin embargo, mi impresión es que cuando decimos que la tasa de riesgo tiene una distribución logarítmica normal, en realidad nos referimos al proceso de los dividendos, ya que es la "parte aleatoria" en la definición de los rendimientos (precio $p_{t+1}$ no es exógena sino que se determina dentro del modelo). Ahora me parece que hemos hecho dos supuestos diferentes sobre el mismo proceso de dotación $d_t$ . ¿De dónde viene el supuesto del consumo o qué representa? ¿Cómo cambiaría la situación si el consumidor tuviera algún flujo de ingresos $y_t > 0$ ?

Answer 1

El lagrangiano típico de dos períodos es

$$\Lambda = \beta^t\cdot \Big(\frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_t\cdot \big[(d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0- c_t - \pi_t p_t - \pi_t^0 p_t^0\big]\Big) \\ + \beta^{t+1}\cdot \Big(\frac{c_{t+1}^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_{t+1}\cdot \big[(d_{t+1}+p_{t+1}) \pi_{t} + \pi_{t}^0- c_{t+1} - \pi_{t+1} p_{t+1} - \pi_{t+1}^0 p_{t+1}^0\big]\Big)$$

Las condiciones de primer orden con respecto a $c_t, \pi_t$ son

$$c_t^{-\gamma} = \lambda_t \implies ... \gamma\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} \tag{1}$$

$$-\beta^t\lambda_tp_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}(d_{t+1}+p_{t+1})=0 \implies \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \beta \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \tag{2}$$

y así, utilizando también la definición de la rentabilidad bruta,

$$\ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \ln \beta + \ln R_{t+1} \tag{3}$$

Combinando $(1)$ y $(3)$ obtenemos

$$\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \frac 1 {\gamma}\ln \beta + \frac 1 {\gamma}\ln R_{t+1} \tag{4}$$

Así, vemos que en la senda óptima, el crecimiento del consumo es una función afín directa de los retornos log-riesgo. Esto implica, entre otras cosas, que su coeficiente de correlación es igual a la unidad.

La distribución normal es cerrada bajo transformaciones afines (alternativamente, bajo escalamiento y desplazamiento), por lo que si suponemos que los rendimientos logarítmicos de riesgo se distribuyen normalmente, entonces el crecimiento del consumo también se distribuye normalmente (con diferente media y varianza, por supuesto).

Tenga en cuenta que, aunque en general, el conjunta La hipótesis de normalidad es una hipótesis adicional que debe hacerse cuando dos variables aleatorias normales no son independientes, aquí, el hecho de que una sea una función afín de la otra garantiza la normalidad conjunta. Por la condición de Cramer para la normalidad bivariante, debe darse el caso de que todas las combinaciones lineales de dos variables aleatorias normales tengan una distribución normal univariante. En nuestro caso tenemos (notación genérica) la vavriable aleatoria $Y$ y la variable aleatoria $X = a+bY$ . Considere

$$\delta_1X + \delta_2 Y = \delta_1(a+bY) + \delta_2 Y = \delta_1a + (\delta_1b+\delta_2)Y$$

Así que para cualquier $(\delta_1, \delta_2)$ (excepto el vector cero que se excluye a priori), $\delta_1X + \delta_2 Y$ sigue una distribución normal si $Y$ hace. Por lo tanto, basta con suponer que los rendimientos del logaritmo del riesgo siguen una distribución normal para obtener también la normalidad conjunta.

Answer 2

Recientemente he elaborado un documento en el que se deriva la distribución de los rendimientos de todas las clases de activos y pasivos. La rentabilidad log-normal sólo aparece en dos casos. El primero es con los bonos de descuento de un solo período, el segundo con las fusiones de efectivo por acciones. Proviene de una suposición, creo que originalmente de Boness, para eliminar el problema en Markowitz de los precios infinitamente negativos. Aunque se derivó lógicamente, tiene un supuesto crítico que lo hace generalmente falso.

La mayoría de los modelos financieros asumen que los parámetros son conocidos con probabilidad uno. No es necesario estimar $\mu$ con $\bar{x}$ porque se supone que se conoce. A primera vista, esto no es un problema porque es la metodología general de los métodos basados en hipótesis nulas. Se afirma que una hipótesis nula es verdadera y, por tanto, se conocen los parámetros y se realiza una prueba contra esta hipótesis nula.

La dificultad se produce cuando no se conocen los parámetros. Resulta que la prueba se derrumba sin esa suposición, en general. Lo mismo ocurre con Black-Scholes. Voy a presentar una ponencia en la conferencia de la SWFA esta primavera en la que sostengo que si los supuestos de la fórmula de Black-Scholes son literalmente ciertos, entonces no puede existir un estimador que converja al parámetro de la población. Todo el mundo asumió que la fórmula bajo conocimiento perfecto era igual al estimador del parámetro. Nadie comprobó nunca sus propiedades. En su artículo inicial, Black y Scholes probaron empíricamente su fórmula e informaron de que no funcionaba. Una vez que se abandona la suposición de que los parámetros son conocidos, las matemáticas resultan diferentes. Lo suficientemente diferente como para no poder pensar en ello de la misma manera.

Consideremos el caso de un valor de renta variable que cotiza en la Bolsa de Nueva York. Se negocia en una subasta doble, por lo que no se produce la maldición del ganador. Por ello, el comportamiento racional es crear una orden limitada cuyo precio es igual a $\mathbb{E}(p_t),\forall{t}$ . Hay muchos compradores y vendedores por lo que el libro límite debería ser estáticamente normal, o al menos lo será cuando el número de compradores y vendedores llegue al infinito. Así que $p_t$ es estáticamente normal sobre $p_t^*$ el precio de equilibrio.

Por supuesto, hemos ignorado la distribución de $(q_t,q_{t+1})$ . Si se ignoran los splits y los dividendos de las acciones, entonces sigue existiendo o no. Así que hay que crear una distribución mixta para los rendimientos de las acciones, los rendimientos de las acciones en efectivo y la quiebra. Ignoraremos estos casos para simplificar, aunque hacerlo impide la capacidad de resolver un modelo de valoración de opciones.

Por lo tanto, si nos limitamos a $r_t=\frac{p_{t+1}}{p_t}$ y suponer que se eliminan todos los dividendos, entonces nuestros rendimientos serán la relación de dos normales sobre el equilibrio. Excluyo los dividendos porque crean un lío y excluyo casos como la crisis financiera de 2008 porque se obtiene un resultado extraño que consumiría página tras página tras página de texto.

Ahora simplificamos nuestra derivación, si traducimos nuestros datos de $(p_t^*,p_{t+1}^*)$ a $(0,0)$ y definir $\mu=\frac{p_{t+1}^*}{p_t^*}$ podemos ver fácilmente la distribución. En ausencia de una limitación del pasivo o de una restricción presupuestaria intertemporal, por un teorema bien conocido, la densidad de los rendimientos debe ser la distribución de Cauchy, que no tiene ni media ni varianza. Al trasladar todo al espacio de los precios, la densidad se convierte en $$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}.$$

Como no hay media, no se pueden tomar expectativas, realizar una prueba t o F, ni utilizar ninguna forma de mínimos cuadrados. Por supuesto, esto sería diferente si se tratara de una antigüedad.

Si fuera una antigüedad en una subasta se obtiene la maldición del ganador. El mejor postor gana la puja y la densidad límite de las pujas altas es la distribución de Gumbel. Así que se resolvería el mismo problema pero como el cociente de dos distribuciones de Gumbel en lugar de dos distribuciones normales.

En realidad, el problema no es tan sencillo. La limitación de la responsabilidad trunca todas las distribuciones subyacentes. La restricción presupuestaria intertemporal sesga todas las distribuciones subyacentes. Hay una distribución diferente para los dividendos, las fusiones por dinero en efectivo, las fusiones por acciones o propiedades, la quiebra y una distribución de Cauchy truncada para las empresas en funcionamiento, como se ha indicado anteriormente. Hay seis tipos de distribuciones presentes para los valores de renta variable en una mezcla.

Diferentes mercados con diferentes reglas y diferentes estados existenciales crean diferentes distribuciones. Un jarrón antiguo tiene el caso de que se cae y se hace añicos. También tiene el caso del desgaste o algún otro cambio en la calidad intrínseca. Por último, también tiene el caso de que si se destruyen suficientes jarrones similares, el centro de ubicación se desplaza.

Por último, debido al truncamiento y a la falta de un estadístico suficiente para los parámetros, no existe un estimador no bayesiano computable y admisible.

Puede encontrar una derivación de la razón de dos variantes normales y una explicación en http://mathworld.wolfram.com/NormalRatioDistribution.html

También puede encontrar lo que parece ser el primer documento sobre el tema en

Curtiss, J.H. (1941) Sobre la distribución del cociente de dos variables de azar. Annals of Mathematical Statistics, 12, 409-421.

También hay un documento de seguimiento en

Gurland, J. (1948) Inversion Formulae for the Distribution of Ratios. The Annals of Mathematical Statistics, 19, 228-237

Para la forma autorregresiva de los métodos Likelihoodist y Frequentist en

White, J.S. (1958) The Limiting Distribution of the Serial Correlation Coefficient in the Explosive Case. The Annals of Mathematical Statistics, 29, 1188-1197,

y su generalización por Rao en

Rao, M.M. (1961) Consistencia y distribuciones límite de los estimadores de los parámetros en las ecuaciones diferenciales estocásticas explosivas. The Annals of Mathematical Statistics, 32, 195-218

Mi trabajo toma estos cuatro y otros trabajos, como uno de Koopman y otro de Jaynes, para construir las distribuciones si los verdaderos parámetros son desconocidos. Observa que el citado documento de White tiene una interpretación bayesiana y permite una solución bayesiana aunque no exista una solución no bayesiana.

Tenga en cuenta que $\log(R)$ tiene una media y una varianza finitas, pero no tiene estructura de covarianza. La distribución es la secante hiperbólica. Esto es también por un resultado bien conocido en la estadística. En realidad no puede ser una distribución secante hiperbólica debido a los casos laterales como la quiebra, las fusiones y los dividendos. Los casos existenciales son aditivos, pero el logaritmo implica errores multiplicativos.

Puede encontrar un artículo sobre la distribución secante hiperbólica en

Ding, P. (2014) Tres ocurrencias de la distribución hiperbólica-secante. The American Statistician, 68, 32-35

Mi artículo está en

Harris, D. (2017) La distribución de los rendimientos. Journal of Mathematical Finance, 7, 769-804

Antes de leer el mío, debería leer primero los cuatro documentos anteriores. Tampoco estaría de más leer también el tomo de E.T. Jaynes. Es, desgraciadamente, una obra polémica, pero no por ello deja de ser rigurosa. Su libro es:

Jaynes, E.T. (2003) Teoría de la probabilidad: The Language of Science. Cambridge University Press, Cambridge, 205-207