Ito, el Estocástico Exponencial y Girsanov

Question

Esta es una pregunta de dos partes relacionadas con el cambio de la medida de la densidad se utiliza en Girsanov y en segundo lugar para que el Estocástico Exponencial.

Mientras que la lectura de notas relativas a Girsanov se afirma que el cambio de la medida de la densidad de martingala puede ser escrita: \begin{align} \rho_t = \exp \left[- \int_{0}^{t} \lambda_s \, dW_s - \tfrac{1}{2}\int_{0}^{t} \lambda_{s}^{2} \, ds \derecho] \end{align}

Se afirma que el uso de Ito Lema es sencillo comprobar que los diferenciales estocásticas de $\rho_t$ está dada por \begin{align} d\rho_t = -\rho_t \, \lambda_t \, dW_t \end{align}

Creo que he resuelto este y aplicado ito de la siguiente manera: \begin{align} \rho_t &= exp\left[-\lambda_t W_t - \tfrac{1}{2} \, \lambda_{t}^{2} \, t \ \ derecho]\\ d\rho_t &= \frac{\partial\rho_t}{\partial t} dt + \frac{\partial \rho_t}{\partial W} dW_t + \tfrac{1}{2} \frac{\partial^2 \rho_t}{\partial W^{2}} (dW_{t})^2\\ &= -\tfrac{1}{2} \lambda_{t}^{2}\exp\left[\dots\derecho] - \lambda_t\exp\left[\dots\derecho] dW_{t} + \tfrac{1}{2} \lambda_{t}^2 \exp\left[\dots\derecho] (dW_{t})^{2}\\ &= -\tfrac{1}{2}\,\lambda_{t}^{2}\,\rho_{t}\,dt - \lambda_{t}\,\rho_{t}dW_{t} + \tfrac{1}{2}\,\lambda_{t}^{2}\,\rho_{t} dt\\ &= -\lambda_{t}\rho_{t}\,dW_{t} \end{align}

$\textbf{Pregunta 1}$ - ¿Es correcto esto?

El Estocástico Exponencial se expresa como: \begin{align} \mathcal{E}_t(X) = \exp\left[ X_t - \tfrac{1}{2} \langle X,X \rangle_{t} \right] \end{align}

$\textbf{Pregunta 2}$ - creo que $\langle X,X \rangle_t$ es la variación cuadrática, debo interpretar esto de la misma manera en que lo hago el $\int_{0}^{t} \lambda_{t}^{2}\,ds$ plazo en el cambio de la medida de la densidad de arriba?

Se afirma (Filipovic - Plazo-Modelos de Estructura) que, si $X_t$ es una constante de martingala con $X_0 = 0$, entonces el uso de Ito se puede ver $d\mathcal{E}_t(X) = \mathcal{E}_t(X)dX_t$.

La solución que tengo es la siguiente: \begin{align} d\mathcal{E}_t(X) &= \exp\left[X_t - \tfrac{1}{2}\langle X \rangle_t \derecho]\left(dX_t - \tfrac{1}{2}d\langle X \rangle_t \derecho) + \tfrac{1}{2}\exp\left[X_t - \tfrac{1}{2}\langle X \rangle_t \derecho]d\langle X \rangle_t\\ &= \exp\left[X_t - \tfrac{1}{2}\langle X \rangle_t \derecho] dX_t\\ &= \mathcal{E}_{t}dM_t\\ \text {, obviamente, $\mathcal{E}_0(X) = 1.$} \end{align}

$\textbf{Pregunta 3}$ - tengo dificultad para la comprensión de la notación aquí y no se puede ver cómo Ito ha sido aplicado en este caso (ya que no puedo ver el $dt$ y $dW$ términos). Agradecería cualquier ayuda que me mostraba cómo ito ha sido aplicado en este caso (y por qué es obvio que $\mathcal{E}_{0}(X) = 1$).

Muchas gracias,

Juan

Answer 1

Para la pregunta que yo, la identidad \begin{align*} \rho_t = \exp\big(-\lambda_t W_t - \frac{1}{2} \lambda_t^2t\big) \end{align*} no parece correcta, a menos que $\lambda_t$ es una constante.

Para la pregunta II, sí. Si $X_t = -\int_0^t \lambda_s dW_s$, entonces $\langle X \rangle_t = \int_0^t \lambda_s^2 ds$.

Para la pregunta III, debes tener en cuenta que \begin{align*} \langle X \rangle_t = \int_0^t \frac{\partial\langle X \rangle_s}{\partial s}ds. \end{align*} Entonces $d\langle X, \langle X \rangle \rangle_t = 0$ y $d\langle \langle X \rangle, \langle X \rangle \rangle_t = 0$.

Answer 2

Podría ser más fácil ir a otro lado: iniciar con $$ d\mathcal{E}_t = \mathcal{E}_t dX_t $$ aplicar Ito a los $\log función$ $$ d\log(\mathcal{E})_t = \frac{1}{\mathcal{E}_t}d\mathcal{E}_t - \frac{1}{2} \frac{1}{\mathcal{E}_t^2}d\langle\mathcal{E},\mathcal{E}\rangle_t = \frac{1}{\mathcal{E}_t}\mathcal{E}_tdX_t - \frac{1}{2} \frac{1}{\mathcal{E}_t^2}\mathcal{E}_t^2d\langle X,X\rangle_t $$ en otras palabras $$ d\log(\mathcal{E})_t = dX_t - \frac{1}{2} d\langle X,X\rangle_t $$ $$ \log(\mathcal{E})_T = \log(\mathcal{E}_0) + X_T - \frac{1}{2} \langle X,X\rangle_T $$ $$ \mathcal{E}_T = \mathcal{E}_0\exp(X_T - \frac{1}{2} \langle X,X\rangle_T) $$ En el caso de $X_t = \int_0^t \lambda_s dW_s$, usted recibe $dX_t = \lambda_t dW_t$ y $\langle X,X\rangle_T =\int_0^T d\langle X,X\rangle_t =\int_0^T \lambda_t^2 d\langle W,W\rangle_t = \int_0^T \lambda_t^2 dt$.