Demostrar que $W_t - \int_0^t \xi_s ds$ es una medida de futuro-Browniana

Question

Definiciones y demás:

Consideremos un espacio de probabilidad filtrado $(\Omega, \mathscr F, \{\mathscr F_t\}_{t \in [0,T]}, \mathbb P)$ donde

1. $$T > 0$$

2. $$\mathbb P = \tilde{\mathbb P}$$

Esto es medida neutral de riesgo .

3. $$\mathscr F_t = \mathscr F_t^{{W}} = \mathscr F_t^{\tilde{W}}$$

donde $W = \tilde{W} = \{\tilde{W_t}\}_{t \in [0,T]} = \{{W_t}\}_{t \in [0,T]}$ es estándar $\mathbb P=\tilde{\mathbb P}$ -Movimiento browniano.

Considere $M = \{M_t\}_{t \in [0,T]}$ donde

$$M_t := \frac{\exp(-\int_0^t r_s ds)}{P(0,t)}$$

Definir medida anticipada $\mathbb Q$ :

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} := M_T = \frac{\exp(-\int_0^T r_s ds)}{P(0,T)}$$

donde $\{r_t\}_{t \in [0,T]}$ es un proceso de tasa corta y $\{P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$ es el precio del bono en el momento t.

Se puede demostrar que $\{\exp(-\int_0^t r_s ds)P(t,T)\}_{t \in [0,T]}$ es un $(\mathscr F_t, \mathbb P)-$ martingala donde la dinámica del precio de los bonos viene dada como:

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t$$

donde

1. $r_t$ y $\xi_t$ son $\mathscr F_t$ -adaptado

2. $\xi_t$ satisface la condición de Novikov (no creo que $\xi_t$ se supone que representa algo en particular)

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El problema:

Definir el proceso estocástico $W^{\mathbb Q} = (W_t^{\mathbb Q})_{t\in[0,T]}$ s.t.

$$W_t^{\mathbb Q} := W_t - \int_0^t \xi_s ds$$

Utilice Teorema de Girsanov para probar:

$$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb Q \ \text{-Brownian motion.}$$

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Lo que he probado:

Desde $\xi_t$ satisface la condición de Novikov,

$$\int_0^T \xi_t dt < \infty \ \text{a.s.} \ \to \ \int_0^T -\xi_t dt < \infty \ \text{a.s.}$$

$$\to L_t := \exp(-\int_0^t (-\xi_s dW_s) - \frac{1}{2} \int_0^t \xi_s^2 ds)$$

es un $(\mathscr F_t, \mathbb P)-$ martingala.

Por el teorema de Girsanov,

$$W_t^{\mathbb Q} \ \text{is standard} \ \mathbb P^{*} \ \text{-Brownian motion, where}$$

$$\frac{d \mathbb P^{*}}{d \mathbb P} := L_T$$

Supongo que tenemos eso $W_t^{\mathbb Q}$ es estándar $\mathbb Q$ -Movimiento Browniano si podemos demostrar que

$$L_T = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$$

He perdido mis apuntes, pero creo que pude demostrar utilizando el lema de Ito que

1. $$dL_t = L_t \xi_t dW_t$$

2. $$dM_t = M_t \xi_t dW_t$$

De ellos deduzco que

$$d(\ln L_t) = d(\ln M_t)$$

$$\to L_t = M_t$$

$$\to L_T = M_T$$

QED

¿Es eso cierto?

Answer 1

(Si examinamos la pregunta y la notación utilizada con más detenimiento, la formulación parece ser problemática en un par de lugares).

Datos generales

Dejemos que $W$ sea un movimiento browniano estándar con respecto a la filtración $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ . Considere $(L_t)_{t \in [0,T]}$ definido por $$ \frac{dL_t}{L_t} = \psi_t dL_t, \; L_0 = 1. $$ En general, $L_t = e^{\int_0^t \psi_s dW_s - \frac12 \int_0^t \psi^2_s ds }$ es una super martingala. Bajo algunas condiciones (por ejemplo, la condición de Novikov), $L_t$ es una martingala y se puede definir una medida de probabilidad $\mathbb{Q}$ por $$ \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T. $$ En $\mathbb{Q}$ El proceso $$ W^{\mathbb{Q}}_t = W_t - \int_0^t \psi_s ds $$ es un movimiento browniano estándar con respecto a la filtración $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ .

Una indicación informal de por qué esto es así es la siguiente. Consideremos $W^{\lambda}_t = W_t + \int_0^t \lambda_s ds$ . Por el teorema de Bayes, $W^{\lambda}$ es un $\mathbb{Q}$ -martingale si y sólo si $L W^{\lambda}$ es un $\mathbb{P}$ -martingale. Desde

\begin{align*} d L W^{\lambda} &= L d W^{\lambda} + W^{\lambda} dL + dL dW^{\lambda}\\ &= L (\psi + \lambda) dt + (\cdots) dW, \end{align*} debemos tener $\lambda = - \psi$ , para $W^{\lambda}$ para ser un $\mathbb{Q}$ -Movimiento browniano.

Precio descontado como densidad de probabilidad

Los supuestos implícitos son que existe un activo subyacente cuyo precio $S_t$ sigue $$ \frac{dS_t}{S_t} = r_t dt + \sigma_t dW_t $$ bajo la medida de riesgo neutral $\mathbb{P}$ . La tasa corta $(r_t)$ y la volatilidad $\sigma_t$ los procesos se adaptan con suficiente regularidad para que las integrales existan. (Para que esto sea cierto, la filtración browniana generada por $(W_t)$ bajo la medida neutral de riesgo tiene que ser la misma que la generada por el movimiento browniano físico bajo la medida física, por lo que se aplica el Teorema de la Representación de Martingala).

En esta configuración de filtración browniana, para cualquier tiempo- $T$ reclamar $X_T$ la dinámica neutra de riesgo de su precio $X_t$ tiene la forma $$ \frac{d X_t}{X_t} = r_t dt + \psi_t dW_t. $$ El proceso $(\psi_t)$ es la volatilidad del rendimiento de $X_t$ tanto bajo la medida física como bajo la medida neutral de riesgo.

En otras palabras, la dinámica neutral al riesgo del precio descontado $M_t = e^{- \int_0^t r_s ds} X_t$ viene dada por $$ \frac{d M_t}{M_t} = \psi_t dW_t, \, M_0 = X_0. $$ (El precio descontado de cualquier $T$ -la demanda debe seguir una martingala bajo la medida de neutralidad al riesgo, al no haber arbitraje).

Si la condición de Novikov se mantiene, entonces $L_T = \frac{M_T}{M_0}$ define una densidad Radon-Nikodym $$ \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = L_T. $$ En $\mathbb{Q}$ el proceso $$ W_t - \int_0^t \psi_s ds $$ es un movimiento browniano estándar con respecto a la filtración $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ .

En otras palabras, el pago descontado $ e^{- \int_0^T r_s ds} X_T$ de cualquier $T$ -reclama $X_T$ normalizado por su tiempo- $0$ precio $X_0$ puede considerarse como la densidad de Radon-Nikodym de una medida $\mathbb Q$ . En $\mathbb Q$ el movimiento browniano neutral al riesgo tiene ahora una deriva dada por la volatilidad del rendimiento $\frac{d X_t}{X_t}$ .

Si $(Y_t)$ es el precio de un activo negociado, entonces $ e^{- \int_0^t r_s ds} Y_t$ es un $\mathbb P$ -martingale. Esto implica que $(\frac{Y_t}{X_t})$ es un $\mathbb Q$ -martingale.

Medida de avance

La medida de avance es un caso especial de lo anterior en el que $X_t = P(t,T)$ es el tiempo- $t$ precio del bono cupón cero con vencimiento en $T$ . En particular, $X_T = P(T,T) = 1$ . En la expresión $$ \frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_t dt + \xi_t dW_t, $$ $\xi_t$ es la volatilidad de la rentabilidad del bono cupón cero.

(Si $(r_t)$ es determinista, entonces $\xi = 0$ y la medida a plazo es la misma que la medida de riesgo neutral. El bono de cupón cero es un activo de riesgo sólo cuando el tipo corto es estocástico).

La medida correspondiente $\mathbb Q$ se define por $$ \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = \frac{e^{- \int_0^T r_s ds} P(T,T)}{P(0,T)} = L_T. $$ Desde $$ \frac{d L_t}{L_t} = \xi_t dW_t, $$ se deduce de la discusión general anterior que, bajo $\mathbb{Q}$ El proceso $$ W_t - \int_0^t \xi_s ds $$ es un movimiento browniano estándar con respecto a la filtración $( \mathscr F_t )_{t \in [0,T]}$ .

(En la pregunta publicada, la martingala $M_t$ debe ser $\frac{e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)}{P(0,T)}$ . Son los precios descontados de los activos los que son martingales bajo la medida de riesgo neutral).

Comentarios empíricos

La medida de avance $\mathbb Q$ tiene la propiedad de que los precios a plazo forman una $\mathbb Q$ -martingale.

Supongamos que $F(t,T)$ es el precio a plazo del contrato a plazo suscrito en $t$ con madurez $T$ . Por no arbitraje (paridad spot-forward, en este caso) $$ F(t,T) P(t,T) = S_t $$ que, una vez descontado, es un $\mathbb P$ -martingale. Así que $F(t,T)$ es un $\mathbb Q$ -martingale.

Dado que el precio a plazo $$ F(t,T) = \frac{S_t}{P(t,T)} $$ se mueve de forma inversa a la $P(t,T)$ . La medida de avance desplaza la masa de probabilidad hacia estados en los que el rendimiento descontado del bono de cupón cero $$ \frac{d \left( e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T) \right)}{ e^{- \int_0^t r_s ds} P(t,T)} = \xi_t dW_t, $$ es alta, de tal manera que contrarresta el movimiento en $P(t,T)$ y mantiene constante la expectativa (condicional).