¿Cómo se estima theta en el modelo Ho-Lee a partir de una curva de rendimiento?

Question

Tengo una curva de rendimiento construida mediante interpolación lineal con puntos de datos cada 3 meses para los bonos del Tesoro de Estados Unidos.

Me gustaría usar eso para calibrar un modelo Ho-Lee, pero no puedo entender cómo calibrar theta.

¿Existe alguna implementación que pueda utilizar (preferiblemente matlab, r o c++) o una descripción detallada del algoritmo que pueda utilizar como referencia? He encontrado algunas notas sobre la forma óptima de theta*, pero se describe en términos continuos y no discretos, por lo que su utilidad es limitada en mi caso.

Answer 1

Dado el modelo de tipos de interés de Ho-Lee de la forma \begin{align*} dr_t = \theta_t dt + \sigma dW_t, \end{align*} el precio en el momento $t>0$ de un bono de cupón cero, con vencimiento $T$ y la cara de la unidad, tiene la forma \begin{align*} B(t, T) &=E\Big(e^{-\int_t^T r_s ds} \mid r_t \Big)\\ &=e^{-(T-t)r_t - \int_t^T (T-u)\theta_u du + \frac{\sigma^2}{6}(T-t)^3}. \end{align*} Ver esta pregunta para los detalles. En particular, \begin{align*} B(0, t) = e^{t\, r_0 - \int_0^t(t-u)\theta_u du + \frac{\sigma^2}{6}t^3}. \end{align*} Además, \begin{align*} \theta_t = \sigma^2 t - \frac{\partial^2 \ln B(0, t)}{\partial t^2}, \end{align*} que puede calcularse de forma analítica por partes basándose en el esquema de interpolación de la curva de rendimiento.