Precios de las opciones y reversión media

Question

En diferentes libros se puede encontrar una fórmula para la valoración de opciones cuando suponemos que $\ln(S)$ sigue un proceso de reversión media

$$ dS_t/S_t=\kappa(\theta-\ln(S_t))dt+\sigma dZ$$

Si calculamos una volatilidad ajustada

$$\hat{\sigma}=\sigma\sqrt{\frac{1-e^{-2\kappa T}}{2\kappa}}$$

podemos utilizar la fórmula estándar de Black-Scholes (véase, por ejemplo, "The complete guide to option pricing formulas" de Espen Gaarder Haug, página 410).

Esto hace que el precio de la opción aumente con el tiempo hasta el vencimiento.

Pero para mí ahora hay dos problemas:

(1) Esto no es intuitivo porque la distribución de los precios en los futuros es casi la misma si el precio es realmente de reversión media (suponga $T \in \{1,2,3\}$ )

(2) Si hago un Monte Carlo basado en una discretización del proceso estocástico y calculo la media del pago obtengo el resultado esperado: El precio de la opción no cambia con el tiempo hasta el vencimiento

¿Cómo encaja todo esto?

P.D.: Para simplificar suponemos que el tipo de interés libre de riesgo $r$ es $0$ .

Answer 1

De la SDE \begin{align*} \frac{dS_t}{S_t}= k(\theta-\ln S_t) dt + \sigma dW_t, \end{align*} donde $\{W_t,\, t\ge 0\}$ es un movimiento browniano estándar, obtenemos que \begin{align*} d(e^{kt}\ln S_t) = ke^{kt} \Big(\theta -\frac{1}{2k}\sigma^2\Big) dt + \sigma e^{kt} dW_t. \end{align*} Entonces, \begin{align*} \ln S_T = e^{-k(T-t)} \ln S_t + \Big(\theta -\frac{1}{2k}\sigma^2\Big)\Big(1-e^{-k(T-t)} \Big)+\sigma \int_t^T e^{-k(T-s)} dW_s. \end{align*} Además, para $0 \le t \le T$ el precio de los futuros en el momento $t$ viene dada por \begin{align*} f(t, T) &= E(S_T\,|\, \mathcal{F}_t)\\ &=\exp\bigg(e^{-k(T-t)} \ln S_t + \Big(\theta -\frac{1}{2k}\sigma^2\Big)\Big(1-e^{-k(T-t)} \Big)+ \frac{\sigma^2}{4k} \Big(1-e^{-2k(T-t)} \Big) \bigg). \end{align*} Tenga en cuenta que, $f(T, T) = S_T$ y \begin{align*} df(t, T) &= \sigma e^{-k(T-t)}f(t, T)dW_t,\\ f(0, T) &= \exp\bigg(e^{-kT} \ln S_0 + \Big(\theta -\frac{1}{2k}\sigma^2\Big)\Big(1-e^{-kT} \Big)+ \frac{\sigma^2}{4k} \Big(1-e^{-2kT} \Big) \bigg). \end{align*} Para $0\le t \le T$ , dejemos que \begin{align*} \sigma_{t,T}^f &= \sqrt{\frac{1}{T-t}\int_t^T \sigma^2 e^{-2k(T-s)} ds}\\ &=\sigma\sqrt{\frac{1-e^{-2k(T-t)}}{2k(T-t)}}. \end{align*} Entonces, el precio, en el momento $0\le t \le T$ de una opción de compra de ejercicio europeo con pago $$(S_T-K)^+,$$ al vencimiento $T$ viene dada por \begin{align*} e^{-r(T-t)}\big[f(t, T)\Phi(d_1) - K\Phi(d_2) \big], \end{align*} donde $\Phi$ es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria normal estándar, y \begin{align*} d_{1, 2} = \frac{\ln\frac{f(t, T)}{K} \pm \frac{(\sigma_{t,T}^f)^2}{2} (T-t)}{\sigma_{t,T}^f \sqrt{T-t}}. \end{align*}