Teoría del no arbitraje y existencia de una prima de riesgo

Question

Consideremos un espacio filtrado de probabilidad $(\Omega, \mathcal F, \mathbb F, \mathbb P)$ , donde $\mathbb F = (\mathcal F_t)_{0\leq t\leq T}$ que satisface las condiciones habituales y es generada por $1 d $ - Movimiento Browniano (con $\mathcal F_T = \mathcal F$ ).

Además, considere un mercado financiero en el que el tipo de interés es nulo, $r=0$ y la dinámica del activo de riesgo $S$ viene dada por $$S_t= S_0 + \int_0^t \mu_s ~ds +\int_0^t \sigma_s ~dW_s \quad , t \geq 0$$

donde $t \in [0,T] \mapsto \mu_t$ y $t \in [0,T] \mapsto \sigma_t \geq 0$ son funciones deterministas y continuas .

Demuestra eso:

1. Si se verifica la hipótesis de ausencia de oportunidad de arbitraje, entonces $B:=\{t \in [0,T] : \sigma_t=0 \ \text{and} \ \mu_t \neq 0\}$ es un conjunto de medidas nulas de Lebesgue (es decir, $\int_0^T\mathbf1_{t \in B} dt=0$ ).
2. $\nu_\sigma(O):= \int_0^T\mathbf1_{t \in O}\sigma_t ~dt$ domina $\nu_\mu (O):= \int_0^T\mathbf1_{t \in O} \mu_t ~dt$ , donde $O$ es un boreliano de $[0,T]$ ( es decir, $\nu_\mu \ll \nu_\sigma$ ) y deducir de ella que existe una función medible $\lambda$ tal que $\mu = \sigma \lambda$ .

Answer 1

Para el primero un razonamiento absurdo permite construir un arbitraje (como r=0) invirtiendo (o vendiendo en corto según el signo de $\mu$ ) en el momento en que $\sigma$ es nulo, o si lo prefiere tan pronto como $t$ está en $B$ (que no es un conjunto despreciable de Lebesgue por hipótesis) lo cual es absurdo ya que el no-arbitraje se mantiene. Lo que queda por demostrar es que dicha estrategia es admisible.

Para la segunda pregunta, en cuanto se hace la primera parte, es sólo la aplicación del teorema de descomposición de Lebesgue.

Para la primera parte como cualquier conjunto boreliano tal que $\nu_\sigma(O):= \int_0^T\mathbf1_{t \in O}\sigma_t dt $ no domina $\nu_\mu (O):= \int_0^T\mathbf1_{t \in O} \mu_t dt$ se incluye en $B$ y como $B$ es de probabilidad nula la conclusión es verdadera.

Saludos cordiales