Supuesto de normalidad en el índice de Sharpe

Question

He leído que el índice de Sharpe impone una suposición de normalidad, pero no logro ver cómo. La desviación estándar es una estadística para cualquier tipo de distribución. ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Es cierto que se pueden calcular los ratios de Sharpe en carteras con cualquier distribución de rendimiento. El problema radica en comparar los ratios de Sharpe de carteras no distribuidas normalmente (que en realidad es casi cualquier cartera). Para tomar un ejemplo extremo. Considera dos carteras, con rendimientos superiores al índice de referencia.

1. 50% de probabilidad de un rendimiento del 10%, 50% de probabilidad de un rendimiento del 20%
2. 50% de probabilidad de un rendimiento del 10%, 50% de probabilidad de un rendimiento del 100%

Los ratios de Sharpe son $$ 1. \frac{0.5 \cdot 0.1 + 0.5 \cdot 0.2}{\sqrt{0.5 (0.1 - 0.15)^2 + 0.5 (0.2 - 0.15)^2}} = 3 \\ 2. \frac{0.5 \cdot 0.1 + 0.5 \cdot 1}{\sqrt{0.5 (0.1 - 0.55)^2 + 0.5 (1 - 0.55)^2}} \approx 1.22 $$

La cartera 2 claramente domina a la cartera 1, pero su ratio de Sharpe es mucho más bajo.

Answer 2

El índice de Sharpe es simplemente una transformación de la prueba t de Student y es un caso especial de la prueba t, por lo que todos los requisitos para usar una prueba t se aplican a cualquier uso del índice de Sharpe.

Una estadística es cualquier función que utiliza datos de una muestra. El índice de Sharpe es una estadística. Aunque no asume normalidad explícitamente, sí asume la existencia de un segundo momento y es una estadística deficiente en muestras pequeñas si la función generadora de datos tiene un segundo momento pero no se acerca a la distribución normal y el tamaño de la muestra es pequeño.

Se ha argumentado desde Mandelbrot en 1963 que la distribución de retornos carece de una media y, por lo tanto, de una varianza o desviación estándar. He escrito una prueba de que no existe una desviación estándar para las acciones que estoy a punto de enviar para su publicación. No todas las distribuciones estadísticas tienen una desviación estándar.

La esencia de mi argumento es que los retornos son un valor futuro dividido por un valor presente menos uno. Bajo las suposiciones de Markowitz, con muchos compradores y vendedores y mercados en equilibrio, el comportamiento lógico del mercado es que los actores liciten sus expectativas. Por el teorema del límite central, a medida que el número de compradores y vendedores se vuelve grande, la distribución de un conjunto de expectativas debe converger a la normalidad. Esto implica que la distribución es la razón de dos distribuciones normales, que sería $$\frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{\gamma^2+(r-\mu)^2}.$$

Si toma expectativas sobre la distribución, encontrará que ni una media ni una varianza existen. Esta distribución es la distribución de Cauchy. Realmente no explica los retornos debido a las limitaciones de responsabilidad, restricciones de liquidez, quiebras y fusiones, sin embargo, explica la abrumadora cantidad de incertidumbre. Debe alejarse de las suposiciones de Markowitz para obtener distribuciones realistas. El NIST describe la distribución de Cauchy de la siguiente manera.

La distribución de Cauchy es importante como ejemplo de un caso patológico. Las distribuciones de Cauchy se parecen a una distribución normal. Sin embargo, tienen colas mucho más pesadas. Al estudiar pruebas de hipótesis que asumen normalidad, ver cómo funcionan las pruebas en datos de una distribución de Cauchy es un buen indicador de la sensibilidad de las pruebas a desviaciones de colas pesadas de la normalidad. Del mismo modo, es una buena verificación para técnicas robustas que están diseñadas para funcionar bien bajo una amplia variedad de suposiciones de distribución. La media y la desviación estándar de la distribución de Cauchy no están definidas. El significado práctico de esto es que recopilar 1.000 datos no proporciona una estimación más precisa de la media y la desviación estándar que un solo punto.

Un problema práctico es que el índice de Sharpe no puede existir. No es difícil demostrar que una prueba t sería perfectamente ineficiente a medida que el tamaño de la muestra fuera a infinito.

Entonces, para responder exactamente a tu pregunta, no existe una desviación estándar para todas las distribuciones, y aunque no hay una estricta suposición de normalidad, solo será eficiente para muestras pequeñas si se cumple la normalidad.