¿Se parece más el VIX a un swap de volatilidad o a un swap de varianza?

Question

Estoy leyendo el siguiente párrafo en el artículo de la wikipedia sobre el VIX y me parece confuso:

El VIX se calcula como root cuadrada del tipo swap de varianza a la par para un plazo de 30 días[aclarar] iniciado hoy. Obsérvese que el VIX es la volatilidad de un swap de varianza y no la de un swap de volatilidad (siendo la volatilidad root cuadrada de la varianza, o desviación típica).

Esto tiene cero sentido para mí, ya que un swap de volatilidad es precisamente root cuadrada de un swap de varianza, que es lo que el VIX pretende representar/estimar.

¿Alguien tendría una explicación mejor y más limpia que ésta, y quizás actualizar el párrafo de la wikipedia?

Answer 1

\begin{align*} \text{Variance strike} &= \mathrm{E}_t \left[ \int_t^T \sigma_u^2 du \right ] \\ \text{Volswap strike} &= \mathrm{E}_t \left[ \sqrt{\int_t^T \sigma_u^2 du} \right ] \\ \text{VIX} &= \sqrt{\mathrm{E}_t \left[ \int_t^T \sigma_u^2 du \right ]} \\ \text{VIX future} &= \mathrm{E}_t \left [\sqrt{\mathrm{E}_T \left[ \int_T^{T'} \sigma_u^2 du \right ]} \right ] \\ \text{Forward variance strike} &= \mathrm{E}_t \left[ \int_T^{T'} \sigma_u^2 du \right ] \\ \text{Forward start volswap strike} &= \mathrm{E}_t \left [\sqrt{ \int_T^{T'} \sigma_u^2 du} \right ] \end{align*}

El índice VIX es root cuadrada de la varianza del swap strike.

En realidad, el futuro del VIX se encuentra en algún punto intermedio entre el precio del swap de volatilidad a plazo y root cuadrada del precio del swap de varianza a plazo, como puede verse por la desigualdad de Jensen y la ley de la torre.

Answer 2

El precio/valor del VIX índice se parece más al precio de ejercicio de un swap de varianza expresado en unidades de vol que al precio de ejercicio de un swap de vol.

Sin embargo, si va a operar con un VIX futuro (es decir, un contrato delta uno sobre el índice VIX), la exposición que obtiene es más comparable a la de un swap de volatilidad en el sentido siguiente:

Considere un nocional de 1 y un horizonte de inversión fijo $[0,T]$ . No se tienen en cuenta los efectos de segundo orden (por ejemplo, el margen diario).

• Si compra un canje de varianza en $t=0$ a un precio del 20% (variance strike en unidades de volatilidad) y que la volatilidad realizada a lo largo de la vida del contrato acabe siendo del 25%, bloqueará un beneficio: $25^2-20^2=225$ .
• Si compra un swap de volatilidad al 20% en $t=0$ (strike de volatilidad) y que la volatilidad realizada a lo largo de la duración del contrato acabe siendo del 25%, su beneficio será: $25-20=5$
• Si introduce un futuro VIX a 20 (tipo par del swap de varianza expresado en unidades vol) a $t=0$ y deshaga su posición a 25 en $t=T$ habrás hecho $25-20=5$ .