Pensé que crear replicar carteras utilizando subyacente y la numeraire es decir, el numeraire tiene que ser un negociables activo (suponiendo simple modelo binomial). Pero he visto algunos ejemplos en los que se establece expresamente que el numeraire no tiene que ser comercializables.
Podría alguien por favor ayuda claro esta, para mí, gracias!
Esta es una pregunta interesante que me he preguntado a mí mismo. A continuación es mi opinión.
Consideremos una economía de $(\Omega\mathcal{F},P)$ equipado con una filtración $(\mathcal{F})_{t \geq 0}$ que consiste en el comercio de activos $S_t$ y un numéraire $N_t$ especificado por las siguientes ecuaciones diferenciales estocásticas: $$\begin{align} \text{d}S_t&=\alpha(t,S_t)\text{d}t+\beta(t,S_t)\text{d}W_t \\[3pt] \text{d}N_t&=a(t,N_t)\text{d}t+b(t,N_t)\text{d}\tilde{W}_t \end{align}$$ Nuestra economía tiene un contrato de derivados escrito en el activo $S_t$ con la rentabilidad de la función $h(\cdot)$ al vencimiento $T$. Por derivado de la teoría de precios, el precio de $V_t$ de la derivada está dada por los siguientes expectativas en virtud de la medida $P^N$ asociadas a la numéraire $N_t$, condicional a la información disponible: $$\etiqueta{1}V_t=N_tE^N\left(\frac{h(S_T)}{N_T}\bigg|\mathcal{F}_t\right)$$ La definición de la función $g(\cdot)$ para $(s,n) \in \mathbb{R}_+^2$: $$g(s,n)=\frac{h(s)}{n}$$ Por la Propiedad de Markov $-$ ver, por ejemplo, el teorema 6.3.1. en el Cálculo Estocástico para Finanzas II por Shreve $-$ tenemos por $0\leq t\leq T$: $$\etiqueta{2} V_t=v(t,S_t,N_t)$$ Así por Itô el lema: $$\begin{align} \etiqueta{3}\text{d}V_t=& \ \frac{\partial v}{\partial t}\text{d}t+\left(\frac{\partial v}{\partial S}\text{d}S_t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 v}{\partial S^2}(\text{d}S_t)^2\derecho)+\left(\frac{\partial v}{\partial N}\text{d}N_t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 v}{\partial N^2}(\text{d}N_t)^2\derecho) \\ &+\left(\frac{\partial^2}{\partial S\parcial N}\text{d}S_t\text{d}N_t\derecho) \end{align}$$ Tomamos nota de dos cosas:
Referencias
Shreve, S. (2004). Cálculo estocástico para Finanzas II, Springer.
@AFK (2016). "Feynman Kac y la elección de la medida", Quant Intercambio de la Pila.
@Quantuple (2016) "Otros numeraire opciones a la hora de la aplicación de Feynman Kac", Quant Intercambio de la Pila.
Un ejemplo obvio es el uso de la madurez $T$ cupón cero como numeraire, y una opción Europea con la prima pagada en el tiempo $T$ cubiertos con madurez $T$ contratos forward. Usted no necesita para el comercio de la cupón cero, de hecho, usted incluso no necesita saber su valor en términos de \$ antes $T$, ya que todos los asentamientos se producen en $T$.
Como dijo @Mateo Gunn el numeraire la función es actuar como un (autofinanciado), la unidad, y como siempre que son capaces de hacer todo su contabilidad en los términos de la numeraire usted no necesita el comercio, y usted no necesita saber su valor (su "tasa de cambio") en términos de \$. Por supuesto, ser capaz de hacer todas las estadísticas en términos de la numeraire requiere que la opción de pago en sí mismo puede ser expresada como una función de la subyacente en numeraire, que es la razón por la que el cero cupón numeraire es excelente para el trabajo ya que siempre es un valor de 1 en la madurez.
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