Supongamos que tengo un paseo al azar $X_{n+1} = X_n+A_n$ donde $A_n$ es una secuencia iid, $ \mathsf EA_n = A>0$ . ¿Cómo construir una medida martingala para este caso?
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scottishwildcat
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Similar a la respuesta que ya se ha dado. Podemos usar una medida $Q$ de tal manera que $E_Q[A_n] = 0$ . Reformulemos la secuencia como $X_0 =x$ y $X_{n+1} = X_n + A_{n+1}$ .
Primero, la expectativa de los castores es lineal: $$ E_Q[X_{n+1}|F_n] = E_Q[X_n|F_n] + E_Q[A_{n+1}|F_n]. $$ Ahora asume que $\{F_n\}_{n=0}^ \infty $ es la filtración que representa la información de $(X_n)_{n=0}^ \infty $ (la sigma-álgebra generada) con todos los nulos y los supuestos técnicos entonces $$ E_Q[X_n|F_n] = X_n $$ y $E_Q[A_{n+1}|F_n] = E_Q[A_{n+1}] = 0$ por la independencia y porque $ E_Q[A_{n+1}] = 0$ . Si elegimos $Q$ de tal manera que es equivalente a $P$ esta debería ser la solución.
Espero no perderme algo importante aquí. Si $A_n \sim N(1,1)$ bajo $P$ entonces $Q$ podría ser $N(0,a)$ con $a>0$ que es equivalente y tiene la expectativa correcta. Incluso se puede calcular el cambio de medida. Si estoy en lo cierto, entonces resulta que Q no es (!) único. Tengo curiosidad por seguir las discusiones.
Leonardo
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Editar: Aunque de tipo BFin o entrada MFE, suena a tarea. Respuesta: En muchos sentidos, por ejemplo, tome el producto contable de (.-E[A])*(leyofA). Más generalmente si g(x,y) es una función tal que E[g(A,E[A])]=0 entonces g(.,E[A])*lawofA servirá. Por supuesto que no tiene que ser equivalente, como si A es determinista.
