Considere el vector de $n$ Los procesos de Ito
$$ d \mathbf {X}_t = \mathbf { \mu }( \mathbf {X}_t,t)dt + \Sigma ( \mathbf {X}_t,t)d \mathbf {W}_t $$
donde $ \mathbf { \mu } \in \mathbb {R}^n$ y $ \Sigma \in \mathbb {R}^{n \times n}$ . Deje que $f$ ser una función de valor real doblemente diferenciable de $n$ variables reales, así que $f: \mathbb {R}^n \to \mathbb {R}$ . El lema de Ito en múltiples dimensiones nos dice $$ df( \mathbf {X}) = \sum_ {i=1}^n \frac { \partial f}{ \partial x_i}( \mathbf {X}_t)dX_t^i + \frac {1}{2} \sum_ {i,j=1}^n \frac { \partial ^2 f}{ \partial x_i \partial x_j}( \mathbf {X}_t)dX_t^i dX_t^j. $$ La cantidad $df \in \mathbb {R}$ como $f$ .
Ahora, ¿qué hay de los valores vectoriales $f$ ? Por ejemplo, con $ \mathbf {X_t}$ como en el caso anterior, que $dS_t = \mu (S_t,t)dt + \sigma (S_t,t)dW_t$ y establecer $f( \mathbf {x},s) = \frac { \mathbf {x}}{s} = ( \frac {x_1}{s}, \ldots , \frac {x_n}{s})^T$ . Esto aparecería al descontar un vector de activos por un numerario. Ahora $f: \mathbb {R}^{n+1} \to \mathbb {R}^n$ así que parece tener sentido que el diferencial $df \in \mathbb {R}^n$ también, pero no puedo ver para encontrar tal declaración. ¿Cómo se debe manejar tal diferencial?
