$\mathbb{P}$ vs $\mathbb{Q}$ Probabilidades de Transición Entre las Medidas de

Question

Me gustaría que esta cuestión de forma definitiva la guía de un profesional para utilizar tanto $\mathbb{P}$ vs $\mathbb{Q}$ probabilidades en el comercio y la investigación.

Vamos a tomar sólo un hecho ya dado: si tengo riesgo-neutral distribución de probabilidad que puedo el precio y la cobertura de cualquier opción.

1. Es la distinción más filosófica o práctico? ¿Tienen un impacto real en mesas de operaciones P/L? Por ejemplo, es una construcción para recordarnos que no estamos en el "mundo real" cuando modelado?
2. Esta pregunta nos dice que es la diferencia en el uso de $\mu$ vs $i$ cuando la resolución de la S. D. E... que parece que quiere decir que si yo definitivamente sabía que $\mu$ y $r$ yo sería capaz de hacer la transición sin ningún tipo de pérdida de información. Lo borde que sería este me dan en el mercado?
3. Este buen papel y esta buena respuesta parece dividir a la gente en el enfoque de su investigación. $\mathbb{P}$-quants vs $\mathbb{Q}$-quants... en este sentido, parece ser que $\mathbb{P}$-Quants están preocupados con el modelado el futuro el uso de conjuntos de datos históricos. De proyección. $\mathbb{Q}$-quants son concered con valoración relativa y asegurarse de que sus precios shemes son consistentes con el intercambio de comercio de los productos que se observan en el mercado. La extrapolación. Veo que estas funciones de trabajo son diferentes, pero no veo por qué uno podría no aplicarse $\mathbb{P}$ métodos para la $\mathbb{Q}$ mundo (su eficacia parece menos importante para mí - no parece como un científico de la violación).
4. El Teorema de Girsanov muestra su posible cambiar entre los dos. Ahora sé que puedo sacar conclusiones de cada uno de los otros, pero el método no es clara.

Hay una manera en papel para pasar de $\mathbb{P}$ a $\mathbb{Q}$ y viceversa si tengo una forma cerrada-solución o un modelo con parámetros de $\mathbb{P}$ o $\mathbb{Q}$? Si mis ingresos por debajo de $\mathbb{Q}$ es $X \sim \mathcal{N}(r,\,\sigma^{2})\,$. A partir de aquí, ¿cómo puedo llegar a $\mathbb{P}$.

Yo prefería quedarse fuera de un modelo-marco completamente y dejar que todos los resultados se deben en general. Por lo que he encontrado creo que la conexión es en poner un precio en el mercado de la prima de riesgo, pero no he encontrado estimaciones empíricas de este o intenta usar su estimación para moverse entre $\mathbb{P}$ y $\mathbb{Q}$. En cualquiera de los documentos en $\lambda$ estimación o la extracción de ser apreciado.

Quería añadir esta cita de Gary Hatfield:

Recordemos que el punto entero del riesgo de los precios aplicados a recuperar el precio de los negociados de las opciones en una manera que evita el arbitraje. Como tal, las probabilidades de varios caminos están implícitas en los precios de los distintos valores de comilla cuyos pagos dependen de esos caminos. Puesto que los inversores son en total aversión al riesgo, estos precios implica mayores probabilidades de mala escenarios de buenos escenarios. Por lo tanto, mientras todo el mundo (casi!) está de acuerdo en que las acciones tienen un mayor retorno esperado de libre de riesgo de los bonos, los precios de las acciones y de opciones sobre acciones implican la única diferencia entre las existencias y libre de riesgo de los bonos es que las acciones son más volátiles. Dicho de otra manera, un riesgo escenario neutral tiene muchos más muy mal escenarios de un escenario real de establecer precisamente porque los inversores temen que estos escenarios. Por lo tanto, la sobrecarga de la probabilidad a la hora de decidir cuánto de seguridad es que vale la pena.

Esto proporciona intuitiva contexto a la diferencia, sino que lo hace parecer imposible cada replicar el $\mathbb{P}$ mundo.

Answer 1

$\mathbb{P}$ es la verdadera medida de probabilidad. Medida $\mathbb{Q}$ es una medida de conveniencia que permite a los riesgos de los precios aplicados. Factor de descuento estocástico $M$ lleva entre los dos.

• Si usted se preocupa por los precios que usted puede ya sea: (1) trabajo bajo $\mathbb{Q}$ o (2) el trabajo de menores de $\mathbb{P}$ con un factor de descuento estocástico $M$. Hay similitudes entre la configuración de (1) y (2).

• Si lo que te interesa sobre el mundo real de las probabilidades de los diferentes resultados, es necesario utilizar $\mathbb{P}$. Si desea que el mundo real, los rendimientos esperados desea $\mathbb{P}$. (En la eficacia de los mercados, la rentabilidad esperada debajo de $\mathbb{Q}$ de cada la seguridad es la tasa libre de riesgo.)

Justificación teórica detrás de la existencia de una medida $\mathbb{Q}$

Tal vez sea útil para la copia de seguridad de un momento y volver a fundamentos básicos de valuación de activos de la teoría.

• Deje que $X$ ser una variable aleatoria que denota un riesgo de flujo de efectivo del período siguiente.
• Deje que $f(X)$ ser la fijación de precios función que da el precio de hoy para un riesgo de flujo de efectivo.

Obviamente una característica deseable de $f$ es que debe ser lineal: $f(aX + bY) = af(X) + bf(Y)$ (donde $a$ y $b$ son escalares y $Y$ es otro arriesgado flujo de efectivo). Si $f$ es un funcional lineal , entonces existe un factor de descuento estocástico $M$ tal que:

$$ f(X) = \operatorname{E}^\mathbb{P}[MX]$$

Si estamos en una discreta de probabilidad espacio con $n$ resultados posibles (por simplicidad), entonces para cualquier funcional lineal $f$, existe un $M$ tal que $f$ puede ser escrito como

$$ f(X) = \sum_i p_i m_i x_i $$

Que todo el $M$ negocio puede ser bastante incómodo. ¿Hay algo que podamos hacer? Vamos a $q_i = \frac{p_i m_i}{\sum_j p_j m_j}$. Observar que $\sum_i q_i = 1$ , de modo que $P$ es una medida de probabilidad. Observe también que la tasa libre de riesgo satisface $1 = \sum_i p_i m_i (1 + r_f)$ por lo tanto $ \sum_i p_i m_i = \frac{1}{1 + r_f}$

Entonces: $$ \operatorname{E}^\mathbb{P}[MX] = \sum_i p_i m_i x_i = \frac{1}{1+r_f} \sum_i q_i x_i = \frac{1}{1+r_f} \operatorname{E}^\mathbb{Q}[X]$$

Para la fijación de precios, puede utilizar:

1. la probabilidad de la medida $\mathbb{P}$ , junto con el factor de descuento estocástico $M$
2. inclinada probabilidad de medida $\mathbb{Q}$ y el riesgo de los precios aplicados.

Son la misma cosa.

Discusión

Una idea fundamental de la valuación de activos de la teoría es que cada estado del mundo $i$ puede tener un estado diferente precio dado por $p_i m_i$. La idea de riesgo neutral de precios es que para su conveniencia, usted puede empacar en una inclinada medida de probabilidad Q, donde $q_i$ es proporcional a $p_i m_i$. Lo que lleva de ida y vuelta entre $P$ y $Q$ es el factor de descuento estocástico $M$ aka estado deflactor de precios aka estado precio densidad aka precios del núcleo.

Entonces, ¿qué podría $M$ ser? (economía de la interpretación)

Describiendo $M$ es el gran objetivo de académicos de valuación de activos. El éxito ha sido en el mejor de los mixtos.

La economía, a menudo llamadas $M$ con una tasa marginal de sustitución proceso debido a que en la teoría económica, si los agentes tienen aditivamente separables de utilidad a más de un consumo de corriente dada por $U(C) = \sum_{t=0} \beta^t u(c_t)$ entonces el SDF es una relación de las utilidades marginales:

$$ m_{t+1} = \beta \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)}$$