PBE de toma y daca

Question

He encontrado una pregunta interesante mirando el equilibrio perfecto-bayesiano. No he visto ninguna pregunta en la que las creencias no sean discretas.

Hay un único comprador potencial de un objeto que tiene valor cero para el vendedor. La valoración v de este comprador se distribuye uniformemente en [0, 1] y es información privada. El vendedor fija un precio $p_1$ que el comprador acepta o rechaza.

Si acepta, el objeto se intercambia al precio acordado y la recompensa del comprador del comprador es $v p_1$ y la del vendedor es $p_1$ .

Si lo rechaza, el vendedor hace otra oferta de precio, p2. Si el comprador la acepta, su recompensa es $\delta_(v p_2)$ y la del vendedor es $\delta p_2$ , donde $\delta = 0.5$ .

Si lo rechaza, ambos jugadores se quedan con cero (no hay más ofertas).

Encontrar un equilibrio bayesiano perfecto.

Mi enfoque habitual es fijar las creencias, pero no sé muy bien cómo hacerlo con las creencias continuas. ¿Algún consejo?

Answer 1

Después de publicar una mala solución ayer creo que tengo una mejor:

La estrategia del comprador consta de dos funciones, $(f_1(v,p_1),f_2(v,p_1,p_2))$ donde ambas funciones asignan a $\left\{A,R\right\}$ (donde $A$ significa Aceptar, $R$ para rechazar). La estrategia del vendedor es $(p_1,p_2(f_1(v,p_1)))$ . Se obtiene la solución por inducción hacia atrás. En PBE $f_2(v,p_1,p_2)$ mapas a $A$ si y sólo si $v \geq p_2$ . (Hay un margen de maniobra intrascendente en la igualdad.) En el PBE el vendedor cree que hay un conjunto $H$ de tipos por los que el comprador rechazó su oferta $p_1$ . Entonces $$ p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(f_2(v,p_1,p_2) = A | f_1(v,p_1) = R). $$ El comprador aceptará la oferta $p_1$ si y sólo si $$ v - p_1 \geq \delta \cdot (v - p_2). $$ De esto se obtiene $$ v \cdot (1 - \delta) \geq p_1 - \delta \cdot p_2. $$ El lado izquierdo de esta ecuación es creciente en $v$ por lo que los tipos con alta valoración aceptarán. Esto significa que en PBE el conjunto $H$ es tal que $$ H = [0, \bar{v}). $$ De aquí obtenemos el óptimo $p_2$ dado $\bar{v}$ : $$ p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(v \geq p_2 | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2}. $$ En PBE $\bar{v}$ es una función de $p_1$ : $$ \bar{v} \cdot (1 - \delta) = p_1 - \delta \cdot \frac{\bar{v}}{2}, $$ así que $$ \bar{v} = \frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}. $$ Hemos determinado todas las estrategias de PBE pero $p_1$ . La retribución esperada del vendedor es $$ p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot p_2(\bar{v}(p_1)) \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} - p_2(\bar{v}(p_1)) \right), $$ donde $$ p_2(\bar{v}(p_1)) = \frac{\bar{v}(p_1)}{2} = \frac{\frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}}{2} = \frac{p_1}{2 - \delta}. $$ Sustituyendo esto obtenemos $$ p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1}{2 - \delta} \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} - \frac{p_1}{2 - \delta} \right), $$

Tienes que maximizar esto con el tiempo. $p_1$ . Con $\delta = 0.5$ Tengo $$ p_1^* = \frac{9}{20}, \hskip 20pt \bar{v} = \frac{3}{5}, \hskip 20pt p_2^* = \frac{3}{10}. $$