Relación analítica entre una matriz de covarianza y la dispersión transversal

Question

Dado un vector de rendimientos esperados y una matriz de covarianzas, se puede realizar un sorteo conjunto y medir la media transversal variación como la desviación típica entre los rendimientos de una determinada extracción conjunta.

Demostrando la misma idea utilizando datos empíricos/históricos, la variación transversal es simplemente la desviación típica de los rendimientos en un momento dado. A modo de intuición, he aquí un gráfico que representa la dispersión transversal frente al VIX de un papel por Gorman, Sapra y Weigand:

Dado que muchas tiendas tienen una matriz de covarianza bien diseñada, en lugar de buscar la métrica empírica para medir la dispersión, que es ruidosa y variable en el tiempo, prefiero producir la métrica de dispersión a partir de una matriz de covarianza ya existente.

¿Cuál es la relación analítica entre una matriz de covarianzas y un vector de rendimientos esperados dados (por ejemplo, una distribución normal multivariante) y la expectativa de la dispersión transversal?

Answer 1

Si $X \sim N(\mu, V)$ es gaussiana multivariante, se puede escribir $X = \mu + C Y$ donde $ Y \sim N(0,1) $ es una gaussiana estándar y $C$ es la matriz de Choleski triangular inferior de $V$ . A continuación, puede expresar $ v = \sum_{i=1}^n (X_i - S/n)^2 $ , donde $ S = \sum_{i=1}^n X_i $ , en términos de $Y$ y $C$ .

(No reproduzco los cálculos: son sencillos). Si sólo queremos la expectativa, obtenemos: $$ E[v] = \sum_i \mu_i^2 - \dfrac1n \sum_{ij} \mu_i \mu_j + \sum_i C_i C_i' - \dfrac1n \sum_{ij} C_i' C_j $$ donde $C_i$ es el $i$ de la matriz de Choleski.

Esto puede simplificarse: $$ E[r] = \text{trace}( \mu \mu' + V ) + \dfrac1n \mathbf{1}' (\mu\mu' + V) \mathbf{1} $$

A continuación se muestra un código R para comprobar el resultado. (Es posible que desee dividir el resultado por $n$ o $n-1$ , y sacar root cuadrada de esta expectativa).

# Simulations
library(mvtnorm)
f1 <- function(V,mu, R=1000) {
  n <- length(mu)
  apply( rmvnorm(R, mu, V), 1, function(u) sum((u - mean(u))^2) )
}

# Computations
f2 <- function(V,mu) {
  n <- length(mu)
  #var(mu)*(n-1) + sum(diag(V)) - sum(V)/n
  v <- mu %*% t(mu) + V
  sum(diag(v)) - sum(v)/n
}

# Sample data
n <- 10
V <- matrix(rnorm(n*n),n,n)
V <- t(V) %*% V
mu <- rnorm(n)

# Check that the value is the same
f2(V,mu) / mean(f1(V,mu,R=1e5))

Answer 2

Para el caso de la normal multivariante estacionaria, el vector de rendimientos esperados no importa. Esto se debe a que la media transversal se resta antes de calcular la desviación típica. La media transversal puede considerarse más convenientemente como el rendimiento de una cartera con la misma ponderación.

Del mismo modo, me gustaría argumentar que la esperado la desviación típica transversal será igual a la desviación típica de una cartera con la misma ponderación. Para calcular la desviación típica transversal real, básicamente se puede hacer lo mismo y suponer una cartera con la misma ponderación, por lo que analíticamente deberían ser lo mismo. Hice algunas pruebas para cinco variables y simulé 10.000 veces y los números se aproximaron. No eran perfectos, pero sospecho que si llevara el número de variables y simulaciones al infinito, entonces funcionaría.