Tengo dos tareas:
- Dado el spread de CDS del país, dibujar la probabilidad implícita de default.
- Dada la probabilidad de default, calcular el spread de CDS.
Si es posible, referencia algún paper.
¿Tienes una referencia para esto? Muchas gracias.
Respuestas
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ZeroZ
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21
La probabilidad de incumplimiento neutra al riesgo implícita a partir del CDS es aproximadamente $P=1-e^\frac{-S * t}{1-R}$, donde $S$ es el spread plano de CDS y $R$ es la tasa de recuperación.
El Spread de CDS se puede resolver utilizando el inverso:
$$S=\ln(1-P) \frac{R-1}{t}$$
- $S$ es el spread expresado en términos porcentuales (no en puntos básicos)
- $t$ son los años hasta el vencimiento
- $R$ es la tasa de recuperación en términos porcentuales
La ecuación de Hull es una simplificación muy general. Esta ecuación no es perfecta, pero es mucho más precisa y funciona para todos los puntos de vencimiento. Generalmente funciona bien excepto al acercarse a las condiciones límite (créditos en dificultades).
neilh
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26
Creo que la respuesta se puede mejorar aún más para todos aquellos que están siendo dirigidos aquí por Google después de 3 años.
Una forma común de modelar la probabilidad por defecto es mediante la tasa de riesgo. Como bien menciona @Bob, un requisito tradicional es que cumpla (ver Opciones Futuros y Otros Derivados sección 23.4 en la que el autor también discute otras aproximaciones más exactas): $$\lambda(t)=\frac{S(t)}{1-R}.$$ Esto se asocia con la probabilidad por defecto por (ver Proceso Puntual de Poisson): $$P(t,t+h)=\lambda(t)h+o(h)\,,$$ con $P(t,t+h)$ la probabilidad de que ocurra un defecto entre $t$ y $t+h$. Por lo tanto: $$P(0,T)=\int_0^T(1-P(0,t))P(t,t+dt)=\int_0^T\lambda(t)(1-P(0,t))dt\,,$$ donde el primer término de la integral es "el defecto no ha ocurrido hasta ahora" y el segundo es "el defecto ocurre en el próximo paso de tiempo". Esto significa que $P$ satisface: $$\frac{dP(0,t)}{dt}=\lambda(t)(1-P(0,t)).$$ Si se asume que el CDS es constante, entonces $\lambda$ es constante y una solución sería: $$P(0,t)=1-\exp\left(\frac{-St\,\,\,}{1-R}\right).$$ De manera equivalente la solución para el CDS es: $$S=\frac{R-1}{t}\log(1-P(0,t)).$$
Dado que para convertir la derivación anterior en $\lambda(t)=\frac{S(t)}{1-R}$ se debe tener en cuenta que $\exp{(x)}\approx 1+x$ para $x$ pequeño.
La tasa de recuperación no tiene sentido para mí, cuanto mayor sea la tasa de recuperación, mayor será la probabilidad de incumplimiento (creo que debería ser de manera opuesta)
Charles Chen
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183
El capítulo en Hull sobre Riesgo Crediticio da la misma fórmula que emcor como una primera aproximación con una justificación:
Primero considera un cálculo aproximado. Supongamos que un bono rinde 200 puntos básicos más que un bono similar libre de riesgo y que la tasa de recuperación esperada en caso de incumplimiento es del 40%. El tenedor de un bono corporativo debe estar esperando perder 200 puntos básicos (o 2% por año) por incumplimientos. Dada la tasa de recuperación del 40%, esto lleva a una estimación de la probabilidad de un incumplimiento por año condicional a ningún incumplimiento anterior de $0.02/(1-04)$, o 3.33%. En general $$ \bar{\lambda} = \frac{s}{1-R}$$ donde $\bar{\lambda}$ es la intensidad media de incumplimiento (tasa de riesgo) por año, $s$ es la prima de riesgo del bono corporativo sobre la tasa libre de riesgo y $R$ es la tasa de recuperación esperada.
Esta fórmula puede ser fácilmente reescrita como $$s = \bar{\lambda} (1 -R)$$ como señaló @emcor.
El usuario @lakesh señaló en una pregunta eliminada a un blog de Donald van Deventer que analiza esta fórmula y la rechaza.
Tanto Hull como van Deventer comentan que esta fórmula es una aproximación imperfecta. Tiene sentido pero hay algunas advertencias y se pueden hacer una serie de mejoras y Hull da una que fácilmente puedes hacer tú mismo. Lo mejor probablemente depende del objetivo del estudio.
Me encontré con tu respuesta después de recordar esta ecuación pero querer pensarlo un poco más. Entiendo la intuición amplia, pero cuando comienzo a variar R tengo algunas preguntas. ¿Por qué es que cuando R->0 (lo cual debería implicar más riesgo) lambda disminuye? Si asumo una recuperación de 0, tengo una pérdida del 100% en el incumplimiento. Cuando R->1 lambda->grande. ¿No es esto contrario a la intuición? Puede que esté cometiendo algún error obvio.
Andrey
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137
Según esta investigación de Deutsche Bank, : $$p_{def}=\frac{CDS_{spread}}{1-Rec}$$ $$\Leftrightarrow CDS_{spread}=p_{def}(1-Rec)$$ donde $Rec$ es la tasa de recuperación en caso de incumplimiento.
Acabo de querer añadir que la respuesta de emcor es casi correcta pero no del todo. Lo que él escribió como $p_{def}$ en realidad no es la probabilidad de incumplimiento, sino más bien la probabilidad por unidad de tiempo, o la "intensidad de incumplimiento", es decir, si la probabilidad de incumplimiento para el tiempo t es Q(0,T), entonces tenemos la ecuación diferencial $dQ(0,T) = p_{def}Q(0,T)dt$ con $Q(0,0)=0$ de modo que $Q(0,T) = exp(-p_{def}T)$
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Muchas respuestas a esta antigua pregunta ya existen, simplemente señalaré que la conversión a/froma neutral de roak-neutral (no física) probabilidad de incumplimiento y comilla de CDS también necesita la suposición de recuperación, y que algunos números cambiarán algo dependiendo de la suposición de recuperación.