Preferencias débilmente monótonas con curvas de indiferencia únicas: ¿admite alguna de ellas una representación de utilidad?

Question

Inspirado por esta pregunta . La pregunta original fue respondida por Amit con algunos buenos ejemplos. Me gustaría saber la respuesta generalizada:

Supongamos que tenemos una ordenación de preferencias $\succeq$ que es débilmente monótona, por lo que para cualquier cesta de bienes $x$ , $y \in \mathbb{R}^n$ $$ x >> y \Rightarrow x \succ y, $$ y que sólo tiene curvas de indiferencia de un solo punto, por lo que $$ x \sim y \Rightarrow x = y. $$ ¿Existe alguna ordenación de las preferencias que pueda representarse mediante una función de utilidad?

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Una observación: sin monotonicidad se puede tomar simplemente cualquier biyección de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ y reclamarla como función de utilidad. Esto tendría curvas de indiferencia únicas.

Answer 1

Lo que pides es equivalente a encontrar una función inyectiva $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ que es monótona en el sentido de que si $x$ es, en términos de coordenadas, como máximo tan grande como $y$ entonces $f(x)\le f(y)$ . Como primer paso, observe que esto es equivalente a encontrar dicha función a partir de $(0,1)^n\to\mathbb (0,1)$ . Y esto es fácil intercalando los dígitos de las coordenadas de $x$ es decir, si $x=(x^1,x^2,\ldots,x^n)=(0.x^1_1x^1_2\ldots,0.x^2_1x^2_2\ldots,\ldots,0.x^n_1x^n_2\ldots)$ , entonces dejemos que $f(x)=0.x^1_1x^2_1\ldots x^n_1x^1_2x^2_2\ldots x^n_2x^1_3x^2_3\ldots x^n_3\ldots$ . Esto es claramente inyectivo y demostramos la monotonicidad como sigue. Si $f(x)>f(y)$ Entonces se diferencian primero en algunos $x_i^h>y_i^h$ para lo cual $x_j^h=y_j^h$ para todos $j<i$ . Pero entonces $x^h>y^h$ Así que $x$ no puede ser, desde el punto de vista de las coordenadas, tan grande como $y$ .

ps. Tenga en cuenta que $f$ es casi sobreyectiva y casi continua; el único problema es con los números que tienen una expansión decimal finita. Para ver que un inyectivo $f$ no puede ser continua, considere $f^{-1}(\mathbb R_-)$ , $f^{-1}(0)$ y $f^{-1}(\mathbb R_+)$ donde wlog. $0$ es un punto interior de la imagen de $f$ . Por continuidad, se trata de dos conjuntos abiertos y un punto, por lo que no pueden formar una partición de $\mathbb R^n$ para $n\ge 2$ . (Aquí ni siquiera utilizamos la monotonicidad).

Sin embargo, es posible hacer $f$ en una biyección monótona. Esto se puede conseguir de la siguiente manera. Primero mostramos la afirmación para $f:[0,1)^n\to [0,1)$ . Escribe cada número en su forma decimal finita, si es que la tiene, es decir, no debe terminar con $999\ldots$ . El número $f(x)$ comenzará con los primeros dígitos decimales de $x^1$ . Si $x^1_1\ne 9$ entonces $f(x)$ comenzará con $x^1_1$ y luego tomamos los primeros dígitos de $x^2$ . Si $x^1_1=9$ pero $x^1_2\ne 9$ entonces $f(x)$ comenzará con $x^1_1x^1_2$ y luego vamos a $x^2$ . Y así sucesivamente, siempre vamos hasta el primer no $9$ dígito de $x^1$ antes de empezar a tomar dígitos de $x^2$ . Luego repetimos esto para $x^2$ , entonces para $x^3$ etc. (en orden circular). Con esto termina la construcción para $f:[0,1)^n\to [0,1)$ . Para convertirlo en una función $\mathbb R^n\to\mathbb R$ , basta con aplicar una biyección monótona $g:\mathbb Z^n\to\mathbb Z$ a la parte entera de los números. (Este $g$ es fácil de construir por inducción y tomando cubos cada vez más grandes alrededor del origen, $0^n$ .) Tal $g$ da una partición de $\mathbb R^n$ en cubos que son isomorfos a $[0,1)^n$ . Podemos combinar $f$ y $g$ para obtener una función final que mapee $x$ à $g(\lfloor x\rfloor)+f(x-\lfloor x\rfloor)$ .