Teoría de las medidas en las finanzas cuantitativas

Question

Cuando leo sobre la modelización estocástica, el uso de la "medida" aparece mucho. Hasta ahora sólo leía la palabra "medida" como "probabilidades" o "distribución" y podía salir del paso cuando intentaba comprender de manera informal el concepto y los resultados de varios modelos (Black, Dupire, Hull White..), a un nivel básico.

Debo admitir que no fui capaz de seguir las pruebas rigurosas de cada paso de su derivación.

¿Puede alguien decirme cuál es la importancia de la teoría de la medida en la modelización estocástica?

Entiendo que la definición de una medida de probabilidad es más general y rigurosa que decir simplemente "probabilidades". Pero, aparte de una definición rigurosa, ¿hay algunos resultados útiles de la teoría de las medidas que se utilizan a menudo en la modelización estocástica?

Muchas gracias y perdona mi ignorancia.

Answer 1

La teoría de las medidas nos ayuda a superar algunos de los inconvenientes de la construcción de medidas (medida de la probabilidad cuando se varía en $[0,1]$ ). La teoría clásica de la probabilidad es eficaz para los modelos de probabilidad cuyo espacio muestral $\Omega$ es un conjunto finito o contable ( $P: 2^{\Omega} \to [0,1]$ ). Pero para los conjuntos incontables, como $\mathbb{R}$ (que es incontable) la construcción se queda corta. La teoría de la medida de la probabilidad, gracias a H. Lebesgue y C. Carathéodory, permite construir medidas en conjuntos incontables. Definición de una medida $\mu$ requiere en primer lugar la definición de la medida exterior $\mu ^*.$ Una medida externa es un mapeo $\mu^*:2^{\Omega} \to [0,+ \infty)$ :

1) $\mu^*(\emptyset)=0$

2) si $A \subset B$ entonces, $\mu^*(A) \leq \mu^*(B)$

3) si $\{A_i\} \in 2^{\Omega}$ una secuencia de eventos, entonces $\mu^*(\bigcup A_i) \le \sum_i \mu^*(A_i)$

Nos gustaría definir un subconjunto $\mathcal{F} \subset 2^{\Omega},$ tal que 3) se convierte en una igualdad (Esta propiedad se llama aditividad contable). Utilizando la condición de Carathéodory podemos construir un conjunto así $\mathcal{F}$ que se llama $\sigma-$ el álgebra. Una medida es $\mu$ es sólo la medida exterior restringida en $\mathcal{F}$ , $\mu=\mu^{*} \mid_\mathcal{F}$ El siguiente paso es definir el menor $\sigma-$ que es la intersección de todas las $\sigma-$ álgebras. Este conjunto es el álgebra de Borel. Continuamos de esta manera.

La teoría de la medida proporciona métodos más robustos para la integración en funciones medibles, la convergencia en casi todas partes, el lema de Fatou, el lema de Borel Cantelli, etc.

Answer 2

He aquí una respuesta parcial.

Scholes y Merton 1973 derivaron originalmente la ecuación de Black-Scholes con ecuaciones diferenciales parciales -suponen una negociación ininterrumpida en tiempo continuo y la ausencia de arbitraje, y encuentran una EDP que puede resolverse con unas matemáticas muy duras (pero del tipo de la ingeniería, es decir, no vertiginosamente abstractas, sino realmente difíciles de hacer).

Posteriormente, Black-Scholes se reformuló en términos de ecuaciones diferenciales estocásticas. Así, en lugar de suponer una negociación continua, se asume que los precios (logarítmicos) de las acciones se comportan como un movimiento browniano $d\log(S) = \mu + \sigma dW_t$ (que es más o menos lo mismo porque el movimiento browniano es el límite en tiempo continuo de todos los paseos aleatorios) con deriva. Pero especificar un parámetro de deriva es hacer una suposición sobre el comportamiento futuro de las acciones, que por supuesto no funciona.

Pero, ¿por qué no funciona? Por el arbitraje, por supuesto. Y el arbitraje se construyó en el enfoque de la EDP de Scholes-Merton. ¿Qué hacemos para reflejar esto en el mundo de los procesos estocásticos? Nos cambiar la medida .

Todo en la "teoría ingenua de la probabilidad" se define implícitamente en términos de una medida "ambiental" $\mathbb P$ que en finanzas se denomina medida de probabilidad "histórica" o "física". Es efectivamente la probabilidad que se mantiene en el mundo real. Pero resulta (teorema de Girsanov) que existe una medida de probabilidad $\mathbb Q$ La "medida libre de riesgo" en la que se puede cambiar la deriva de su proceso de su valor bajo la medida física a otra cosa. Con algunas suposiciones adicionales y matemáticas que definen una cartera y oportunidades de arbitraje, se obtiene que se debe utilizar el tipo de interés libre de riesgo como la deriva bajo $\mathbb Q$ . Entonces se resuelve la ecuación sin hacer suposiciones sobre la deriva física .

En realidad, existen modelos similares a los de Black-Scholes utilizados por los operadores mucho antes de 1973, pero todos ellos utilizaban el movimiento browniano con deriva, y ¿quién puede afirmar realmente que el mercado de valores se mueve junto con los tipos sin riesgo? Resulta que gracias al teorema de Girsanov y a los procesos de cartera podemos hacer todo el cálculo como si vivimos en un mundo sin riesgos.

Answer 3

A riesgo de decir lo que es obvio, el sentido común es, en cualquier caso, más importante que conocer los detalles de la teoría de las medidas si se quiere operar con opciones. Muchos de los resultados que se han obtenido utilizando la teoría de las medidas ya eran conocidos por los operadores aplicando simplemente el sentido común y sin principios de arbitraje. No estoy restando importancia a la teoría de las medidas, pero creo que existe una tendencia a sobredimensionar la ingeniería financiera en la actualidad. Es y sigue siendo una ciencia aplicada, no es matemática pura ni física teórica.