Soy docente de la aplicación de una clase de matemáticas de este verano y quiero tomar un pequeño desvío en finanzas (no es mi especialidad en todo); en concreto el modelo Black-Scholes de los movimientos de stock. Yo quiero que mis alumnos sean capaces de simular los movimientos de stock y crear unos divertidos gráficos. Pero todavía tengo un par de preguntas básicas acerca de mí mismo.
Si tengo este derecho, el cambio $\Delta$ S en un precio de las acciones durante un pequeño intervalo de tiempo $\Delta t$ se postula a comportarse como
$\Delta S = \mu S \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \varepsilon S$
donde $\mu = \text{la velocidad de deriva}$, $\sigma = \text{volatilidad}$ (constante), y $\varepsilon$ es una feria de coin flip resultando en $1$ y $-1$ (yo prefiero este aumento en la ecuación para una estocástico uno, no estoy en Ito lema y todo eso). $S_T$, el precio de las acciones en el tiempo $T$, es entonces (fijo $\Delta t$) de la variable aleatoria
$S_T = S_0 \left(1+\mu \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \derecho)^X \left(1+\mu \Delta t \sigma \sqrt{\Delta t}\derecho)^{N-X}$
donde $X$ es un binomio R. V. contar la cantidad de $1$'s de la moneda gira y $N = T/\Delta t$. Utilizando la aproximación normal para $X$ y dejar que $\Delta t \rightarrow 0$ nos pone
$S_T = S_0 e^{(\mu\sigma^2/2)T}e^{\sigma \sqrt{T} Z}$
donde $Z$ es normal estándar (o podríamos sustituir $\sqrt{T} Z$ con el movimiento browniano $W$ para un modelo dinámico). A partir de esto podemos calcular los siguientes valores esperados:
$\ln(E[S_T]) = \ln(S_0) + \mu T$
$E[\ln(S_T)] = \ln(S_0) + (\mu \sigma^2/2) T$
En primer lugar, una pregunta tonta: si la volatilidad no es una preocupación, y es el segundo de estas cantidades que un inversionista le preocupa a la hora de decidir la compra de un stock, ¿sí? es decir, el valor esperado de logarítmicas devuelve es la correcta medida del rendimiento de una acción, de no registro del valor esperado?
Mi segunda pregunta tal vez no es tan tonto. Suponiendo que lo que acabo de decir es correcto, ¿esto implica que, en un mundo donde este modelo a cabo a la perfección y que $\mu$ y $\sigma$ eran conocidos por todas las acciones y para todos los inversores, que $\mu \sigma^2/2 = r$, la tasa libre de riesgo? Parecería, ya libres de riesgo de los bonos con $\mu = r$ y $\sigma = 0$ es siempre disponibles a los inversores. Estoy preguntando, porque tengo curiosidad y me gustaría decir algo inteligente a mis estudiantes acerca de la relación entre los $\mu$ y $\sigma$ en este modelo, el correo.g superior $\sigma$ medio superior $\mu$.
Otra pregunta. Me dicen que hay una varita mágica llamado riesgo-neutro de valoración que permite a mí en lugar de escribir
$\Delta S = r S \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \varepsilon^\star S$
donde hemos reemplazado $\mu$ con la tasa libre de riesgo y $\varepsilon^\estrella$ es otra variable aleatoria derivados de la neutrales al riesgo probabilidad de medir. Voy a comprar eso por el momento. Lo que me confunde es cómo, al derivar la fórmula Black-Scholes para opciones Europeo, se llega a la fórmula correcta, a pesar de que hemos sustituido $\mu$ con $r$, pero no sustituye $\varepsilon$ con $\varepsilon^\estrella de$.
Lo que quiero decir es, supongamos que escribe
$S_T = S_0 e^{(r-\sigma^2/2)T}e^{\sigma \sqrt{T} Z}$
Es decir, la sustitución de $\mu$ con $r$, pero no cambio de $\sigma$ a $0$ o cambiar nada en la segunda exponencial (es decir, el cambio a una versión diferente de browning movimiento) Si utiliza esta expresión para calcular el descuento del valor esperado de la liquidación de una opción call Europea en el precio de ejercicio de $K$
$e^{-rT}E[\text{max}(S_T - K,0)]$
se llega a la fórmula correcta para $C$, el Black-Scholes precio de una opción call Europea. Pero, ¿por qué? ¿Por qué debería el valor razonable de una opción a la que llegó suponiendo que $\mu = r$, pero aún suponiendo que $\sigma \neq 0$? Me doy cuenta de que dejar que $\sigma = 0$ hace una opción inútil para empezar, pero yo realmente no se por qué somos justificados en dejar que $\mu = r$, en lugar de lo que $\mu$ es en realidad (sea lo que sea).
Finalmente, nada inteligente que usted me puede decir acerca de cómo real de los inversores reaccionan a (su estimación de) $\mu$ y $\sigma$, en el contexto de este modelo, podrían ser de utilidad.
Lo siento por mi ingenuidad, el más cercano que he estado a un mercado de valores es voltear pasado CNBC en mi sofá. Gracias por la ayuda.
ACTUALIZACIÓN:
Lo que has dicho tiene sentido para mí. Una rápida aparte: es la Representación de Riesz teorema el ingrediente esencial que uno usa para demostrar la existencia de riesgo-neutral medida?
Todavía estoy difusa en una cosa. No he sido a través de la Black-Scholes de la PDE/cobertura dinámica argumento en detalle pero me da la esencia; la configuración de una auto-financiación de riesgo-menos de la cartera de negociación de ida y vuelta la derivada y la bolsa de valores. Y estoy seguro de que la mayoría de las conceptualmente sonido y la intuición para derivar la fórmula Black-Scholes para opciones Europeo. Pero yo no voy a tener tiempo para entrar en clase, así que vamos a suponer que en lugar de nosotros no sabía nada de este Black-Scholes de la PDE cosas, ni la de Feynman-Kac fórmula. De nuevo asumiendo el modelo
$S_T = S_0 e^{(\mu \sigma^2/2)T} e^{\sigma \sqrt{T} Z}$
es allí una manera de argumentar a partir de simple los principios que la computación
$e^{-rt} E[\text{max}(S_T-K,0)]$
es válido el precio de una opción Europea, después de la sustitución $\mu$ con $r$? Porque honestamente, si estoy por ahí vendiendo estas opciones y la necesidad de precio, y que no tienen la educación acerca de esto otra de este modelo, y sé que puedo vender lo suficiente de ellos para la ley de los promedios para ganar, estoy haciendo este cálculo exacto, pero dejando $\mu$ a la derecha donde está (esta fue mi primera conjetura en cuanto a cómo el precio de una opción por el camino, antes de aprender la fórmula real o la cobertura de argumento). De hecho, a mí me parece que, independientemente del modelo probabilístico $S_T$ usted cree en una bolsa especial, este cálculo se debe llevar a su mejor conjetura en cuanto al valor de la opción, sin cualquier alteración, tales como el alquiler de $\mu = r$. A donde voy mal aquí?
Por último, podría recomendar algunos realista valores de $\mu$ y $\sigma$ para mí para jugar con mis alumnos? Hacer prácticas comerciantes de la realidad se moleste en tratar de estimar $\mu$ y $\sigma$?
Gracias por tanto de su ayuda.
