La distribución de la integral estocástica

Question

Supongamos que $f(t)$ es una función integrable cuadrada determinista. Quiero mostrar $$ \int_ {0}^{t}f( \tau )dW_{ \tau } \sim N(0, \int_ {0}^{t}|f( \tau )|^{2}d \tau )$$ .

Quiero saber si el siguiente enfoque es correcto y/o si hay un mejor enfoque.

Primero note que $$ \int_ {0}^{t}f( \tau )dW_{ \tau }= \lim_ {n \to\infty } \sum_ {[t_{i-1},t_{i}] \in\pi_ {n}}f(t_{i-1})(W_{t_{i}}-W_{t_{i-1}})$$ donde $ \pi_ {n}$ es una secuencia de particiones de $[0,t]$ con malla yendo a cero. Luego $ \int_ {0}^{t}f( \tau )dW_{ \tau }$ es una suma de lo normal variables aleatorias y por lo tanto es normal. Así que todo lo que necesitamos hacer es calcular la media y la varianza. En primer lugar: \begin {eqnarray*} E( \lim_ {n \to\infty } \sum_ {[t_{i-1},t_{i}] \in\pi_ (N) F (T) 1 (W (T) W (T) 1) W (T) 1) & = & \lim_ {n \to\infty } \sum_ {[t_{i-1},t_{i}] \in\pi_ {n}}f(t_{i-1})E(W_{t_{i}}-W_{t_{i-1}}) \\ & = & \lim_ {n \to\infty } \sum_ {[t_{i-1},t_{i}] \in\pi_ (t_{i-1}) \times0\\ & = & 0 \end {eqnarray*} debido a la independencia de los incrementos de Wiener. En segundo lugar: \begin {eqnarray*} var( \int_ {0}^{t}f( \tau )dW_{ \tau }) & = & E(( \int_ {0}^{t}f( \tau )dW_{ \tau })^{2}) \\ & = &E( \int_ {0}^{t}f( \tau )^{2}d \tau )= \int_ {0}^{t}f( \tau )^{2}d \tau \end {eqnarray*} por la isometría Ito.

Answer 1

Una cuestión similar se ha debatido anteriormente; véase ¿Por qué la tasa corta en el modelo de Hull White sigue una distribución normal? .

Básicamente, el límite probabilístico de las variables aleatorias normales sigue siendo normal. Entonces, como $$\sum_{[t_{i-1},t_{i}]\in\pi_{n}}f(t_{i-1})(W_{t_{i}}-W_{t_{i-1}})$$ es normal, el límite $$\int_{0}^{t}f(\tau)dW_{\tau},$$ en la probabilidad, también es normal, con la media y la varianza que usted proporcionó.

Answer 2

Desde $\mathbb{E}\left[ \int_0^t f(\tau) \; dW_\tau \right] = \int_0^t f(\tau) \; \mathbb{E}\left[dW_\tau \right] = 0$ , $\int_0^t f(\tau) \; dW_\tau$ tiene media cero.

$\text{var}\left( \int_0^t f(\tau) \; dW_\tau \right) = \mathbb{E}\left[\left( \int_0^t f(\tau) \; dW_\tau \right)^2 \right]-\mathbb{E}\left[ \int_0^t f(\tau) \; dW_\tau \right] = \int_0^t f(\tau)^2 d\tau$ utilizando la isometría de Ito, tal y como han dicho otros.