¿Por qué la tasa de corto en el Casco Blanco modelo siguen una distribución normal?

Question

Considere la posibilidad de Casco Blanco modelo $dr(t)=[\theta(t)-\alpha(t)r(t)]dt+\sigma(t)dW(t)$ cuando se resuelve el SDE encima tenemos a $r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+\frac{\theta}{\alpha}(1-e^{-\alpha t})+\sigma e^{-\alpha t}\int_{0}^{t}e^{\alpha u}dW(u)$ y cuando tomamos la expectativa y la varianza tenemos $r(t) \sim N(e^{-\alpha t}r(0)+\frac{\theta}{\alpha}(1-e^{-\alpha t}),\frac{\sigma^2}{2\alpha}(1-e^{-\alpha t}))$.

Sé el calcular cómo encontrar el SDE y encontrar la expectativa o la varianza, pero No entiendo por qué $r(t)$ tiene distribución normal.

gracias.

Answer 1

Este es un caso especial de la cuestión de por qué $$\int_0^T f(t) dW_t$$ normalmente se distribuyen de forma continua la función $f(t).$ Esta Ito integral se puede aproximar por una suma $$\sum_{i=0}^{N-1} f(i T/N) (W_{(i+1)T/N} - W_{i T/N}) .$$ La Browniano incrementos de $(W_{(i+1)T/N} - W_{i T/N})$ son independientes normalmente distribuidas variables aleatorias. El punto clave es que la suma de los independientes de variables normalmente distribuidas de nuevo está normalmente distribuida.

Answer 2

Por simplicidad, suponemos que $\alpha$ es una constante positiva. Usted necesita demostrar que, para cualquier $t>0$, $$\begin{align*} M_t = \int_0^t e^{\alpha u} dW_u \end{align*}$$ está normalmente distribuida, donde $\{W_t, \, t \ge 0\}$ es un estándar de movimiento Browniano con respecto a la filtración de $\{\mathscr{F}_t,\, t \ge 0\}$. Aquí, utilizamos el tiempo-se ha cambiado el movimiento Browniano técnica. Por $t\ge 0$, deje que $\mathscr{G}_t = \mathscr{F}_{\frac{1}{2}\ln(1+2t)}$. Considerar el proceso $X=\{X_t, t \geq 0\}$, donde $$\begin{align*} X_t = \int_0^{\frac{1}{2}\ln(1+2t)} e^{\alpha u} dW_u. \end{align*}$$ Entonces $X$ es una martingala continua con respecto a la filtración de $\{\mathscr{G}_t,\, t \ge 0\}$. Por otra parte, $$\begin{align*} \langle X, X\rangle_t &= \langle M, M\rangle_{\frac{1}{2}\ln(1+2t)}\\ &=\int_0^{\frac{1}{2}\ln(1+2t)} e^{2u} du =t. \end{align*}$$ Por Levy martingala caracterización de movimiento Browniano, $\{X_t, t \ge 0\}$ es un movimiento Browniano. Que es, por $t >0$, $X_t$ está normalmente distribuida. En consecuencia, para cualquier $t >0$, $$\begin{align*} M_t &= \int_0^t e^{\alpha u} dW_u\\ &=X_{\frac{1}{2} e^{2}-1 )} \end{align*}$$ se distribuye normalmente, y $r_t$ también está normalmente distribuida.