¿Por qué parametrizar la superficie de volatilidad implícita de Black Scholes?

Question

Sé que las superficies de volatilidad del IVS son muy populares entre los profesionales financieros. Entiendo que no se trata realmente de un modelo para algún activo subyacente (como Black Scholes, Heston, etc.), sino simplemente de una parametrización de la superficie de volatilidad implícita de Black Scholes.

Otro ejemplo es la parametrización Malz FX Volaility.

Mi pregunta es: ¿Por qué los profesionales prefieren estas parametrizaciones a la superficie implícita de Black Scholes?

Answer 1

No existe una "superficie implícita simple de Black Scholes" porque las volatilidades implícitas proceden de los precios del mercado de opciones (de compra y de venta). Si se tiene un continuo de precios de las opciones de compra $C : \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ , $(T,K) \mapsto C(T,K)$ se obtendría una función de volatilidad implícita $\sigma_I : \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ describiendo su superficie de volatilidad implícita invirtiendo la fórmula de Black Scholes para cada vencimiento y strike: $$C(T,K) = Call_{BS}(T,K,\sigma_I(T,K)).$$

Pero sólo hay un número finito de strikes y vencimientos disponibles en cualquier mercado, por lo que sólo se obtiene un número finito de volatilidades implícitas $\sigma_I(T_i,K_j)$ . En lugar de una superficie completa, sólo tienes una nube de puntos. Hay un número infinito de superficies que pasan por estos puntos y cada una de ellas corresponde a una familia diferente de distribuciones marginales para su proceso de precios $(S_T)$ (al menos si la superficie no satisface ninguna condición de arbitraje).

Por lo tanto, para obtener una superficie real hay que interpolar/extrapolar entre puntos y asegurarse de que la superficie que se obtiene está libre de arbitraje. Esto no es fácil porque la condición de mariposa $\partial^2_{KK} C(T,K) \geq 0$ (convexidad del pago de la compra = positividad de una mariposa) se traducen en una desigualdad diferencial de segundo orden para la volatilidad implícita. Esto impone restricciones estrictas y no explícitas a su procedimiento de interpolación. Por ello, los practicantes prefieren partir de una parametrización que esté libre de arbitraje por diseño y luego tratar de ajustarla a la nube de puntos de volatilidad implícita.

Para más detalles, véase "Arbitrage Free Implied Volatility Surfaces" de M. Roper http://www.maths.usyd.edu.au/u/pubs/publist/preprints/2010/roper-9.pdf

Answer 2

Me gustan las parametrizaciones por muchas razones. Digamos que usted tiene una sonrisa SPX con 125 huelgas que razonablemente puede ser negociado. Muchas parametrizaciones reducen estos 125 strikes a 5 parámetros. Además, las parametrizaciones pueden suavizar lo que a menudo pueden ser datos muy ruidosos en las alas. Además, algunas de estas parametrizaciones pueden tener parámetros que pueden dar rápidamente a un operador una intuición inmediata sobre el aspecto de la sonrisa. Ahora imagine tener una serie de tiempo de superficies de volatilidad - estas parametrizaciones hacen un buen trabajo de condensar una cantidad masiva de datos a una cantidad meramente grande de datos.

Por ejemplo, tiendo a utilizar la parametrización SVI (aunque he encontrado que es muy difícil de encajar dentro de la oferta muy apretada para una gran cantidad de los vencimientos a corto plazo en el último par de años para SPX). Los parámetros habituales para el IVS no son intuitivos, pero puedo traducir fácilmente esos 5 parámetros en parámetros intuitivos como ATM, Skew (primera derivada de la ATM de la sonrisa), Kurtosis (segunda derivada de la ATM de la sonrisa), y las pendientes asintóticas de la mano izquierda/derecha (el IVS es linealmente asintótico en la varianza implícita).

Otra característica interesante del IVS que utiliza estos parámetros intuitivos es que puedo invertirlos casi con seguridad (en el sentido probabilístico) de forma única a los parámetros brutos utilizados para calcular los vols. Me gusta esto porque puedo impactar los parámetros intuitivos - probablemente impactar la ATM o la inclinación y luego invertir de nuevo a los nuevos parámetros brutos. El choque de la superficie de vol me ayuda a entender los riesgos de estrés. La única desventaja de esta técnica es que después de un choque demasiado grande, puede que no seamos capaces de invertir - en otras palabras, el mapeo de los parámetros brutos del SVI a los parámetros intuitivos no es subjetivo - ¡una root cuadrada de un número negativo le alertará de esto!