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¿Por qué parametrizar la superficie de volatilidad implícita de Black Scholes?

Sé que las superficies de volatilidad del IVS son muy populares entre los profesionales financieros. Entiendo que no se trata realmente de un modelo para algún activo subyacente (como Black Scholes, Heston, etc.), sino simplemente de una parametrización de la superficie de volatilidad implícita de Black Scholes.

Otro ejemplo es la parametrización Malz FX Volaility.

Mi pregunta es: ¿Por qué los profesionales prefieren estas parametrizaciones a la superficie implícita de Black Scholes?

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¿En qué se diferencia esto de la calibración que, en algunos círculos, se ha llamado la nueva alquimia? quant.stackexchange.com/questions/33744/

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Miha Puntos 1

No existe una "superficie implícita simple de Black Scholes" porque las volatilidades implícitas proceden de los precios del mercado de opciones (de compra y de venta). Si se tiene un continuo de precios de las opciones de compra $C : \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ , $(T,K) \mapsto C(T,K)$ se obtendría una función de volatilidad implícita $\sigma_I : \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ describiendo su superficie de volatilidad implícita invirtiendo la fórmula de Black Scholes para cada vencimiento y strike: $$ C(T,K) = Call_{BS}(T,K,\sigma_I(T,K)). $$

Pero sólo hay un número finito de strikes y vencimientos disponibles en cualquier mercado, por lo que sólo se obtiene un número finito de volatilidades implícitas $\sigma_I(T_i,K_j)$ . En lugar de una superficie completa, sólo tienes una nube de puntos. Hay un número infinito de superficies que pasan por estos puntos y cada una de ellas corresponde a una familia diferente de distribuciones marginales para su proceso de precios $(S_T)$ (al menos si la superficie no satisface ninguna condición de arbitraje).

Por lo tanto, para obtener una superficie real hay que interpolar/extrapolar entre puntos y asegurarse de que la superficie que se obtiene está libre de arbitraje. Esto no es fácil porque la condición de mariposa $\partial^2_{KK} C(T,K) \geq 0$ (convexidad del pago de la compra = positividad de una mariposa) se traducen en una desigualdad diferencial de segundo orden para la volatilidad implícita. Esto impone restricciones estrictas y no explícitas a su procedimiento de interpolación. Por ello, los practicantes prefieren partir de una parametrización que esté libre de arbitraje por diseño y luego tratar de ajustarla a la nube de puntos de volatilidad implícita.

Para más detalles, véase "Arbitrage Free Implied Volatility Surfaces" de M. Roper http://www.maths.usyd.edu.au/u/pubs/publist/preprints/2010/roper-9.pdf

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Gracias por su respuesta. Entiendo que tal vez no se pueda interpolar linealmente o incluso polinomialmente a trozos porque entonces tendrá problemas con el cálculo de la volatilidad local. Sin embargo, mi pregunta sigue siendo por qué se utilizan diferentes interpolaciones o parametrizaciones. ¿Por qué no ajustar simplemente un polinomio de grado n a n+1 puntos? (considerando sólo la sonrisa aquí, es decir, con respecto a la dimensión de madurez de la superficie)

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Tal vez no enfaticé lo suficiente este punto, pero realmente quieres que tu superficie de volatilidad implícita esté libre de arbitraje. Interpolar entre puntos para obtener una superficie dos veces diferenciable es muy sencillo. Asegurarse de que está libre de arbitraje no lo es porque una de las condiciones se traduce en $\mathcal{L} \sigma_I(T,K) \geq 0$ donde $\mathcal{L}$ es un operador diferencial de segundo orden en $K$ . Véase la condición de Durrleman en el tema 2.9 de este artículo maths.usyd.edu.au/u/pubs/publist/preprints/2010/roper-9.pdf . Esto hace que el enfoque de parametrización sea mucho más atractivo.

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De nada. He editado mi respuesta basándome en tu comentario. PD: La disertación de Durrleman también es muy enriquecedora.

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Logicalmind Puntos 1260

Me gustan las parametrizaciones por muchas razones. Digamos que usted tiene una sonrisa SPX con 125 huelgas que razonablemente puede ser negociado. Muchas parametrizaciones reducen estos 125 strikes a 5 parámetros. Además, las parametrizaciones pueden suavizar lo que a menudo pueden ser datos muy ruidosos en las alas. Además, algunas de estas parametrizaciones pueden tener parámetros que pueden dar rápidamente a un operador una intuición inmediata sobre el aspecto de la sonrisa. Ahora imagine tener una serie de tiempo de superficies de volatilidad - estas parametrizaciones hacen un buen trabajo de condensar una cantidad masiva de datos a una cantidad meramente grande de datos.

Por ejemplo, tiendo a utilizar la parametrización SVI (aunque he encontrado que es muy difícil de encajar dentro de la oferta muy apretada para una gran cantidad de los vencimientos a corto plazo en el último par de años para SPX). Los parámetros habituales para el IVS no son intuitivos, pero puedo traducir fácilmente esos 5 parámetros en parámetros intuitivos como ATM, Skew (primera derivada de la ATM de la sonrisa), Kurtosis (segunda derivada de la ATM de la sonrisa), y las pendientes asintóticas de la mano izquierda/derecha (el IVS es linealmente asintótico en la varianza implícita).

Otra característica interesante del IVS que utiliza estos parámetros intuitivos es que puedo invertirlos casi con seguridad (en el sentido probabilístico) de forma única a los parámetros brutos utilizados para calcular los vols. Me gusta esto porque puedo impactar los parámetros intuitivos - probablemente impactar la ATM o la inclinación y luego invertir de nuevo a los nuevos parámetros brutos. El choque de la superficie de vol me ayuda a entender los riesgos de estrés. La única desventaja de esta técnica es que después de un choque demasiado grande, puede que no seamos capaces de invertir - en otras palabras, el mapeo de los parámetros brutos del SVI a los parámetros intuitivos no es subjetivo - ¡una root cuadrada de un número negativo le alertará de esto!

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¿Sus parámetros intuitivos son básicamente los parámetros de svijw? ¿O su propio conjunto?

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Similar. En mi antigua tienda, teníamos ATM, Skew, Kurtosis junto con algunos parámetros de las alas. La forma que se utilizaba era defectuosa en algunos aspectos, pero me gustaba tener parámetros intuitivos. Lo hice con SVI - entonces Gatheral publicó los parámetros SVIJW. Los míos son ligeramente diferentes, pero similares. Él usa minvol - yo usé la segunda derivada ATM de la sonrisa en su lugar, lo que da cierta sensación de mariposas. Si uno prefiere minvol, debe utilizar el desplazamiento de minvol de ATM (es decir, el min es 2 vols menos que ATM) - de esa manera si usted hace un choque ATM, usted no tiene que choque el minvol también para mantener la forma.

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Tiene sentido. Me gusta una parametrización de las primeras derivadas en el atm y luego algunas cosas para las alas - cosas donde realmente se puede adivinar de una sonrisa en lugar de un montón de cosas que se ven, pero hace que el arbitraje más difícil de comprobar, si usted se preocupa por eso.

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