No existe una "superficie implícita simple de Black Scholes" porque las volatilidades implícitas proceden de los precios del mercado de opciones (de compra y de venta). Si se tiene un continuo de precios de las opciones de compra $C : \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ , $(T,K) \mapsto C(T,K)$ se obtendría una función de volatilidad implícita $\sigma_I : \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ describiendo su superficie de volatilidad implícita invirtiendo la fórmula de Black Scholes para cada vencimiento y strike: $$ C(T,K) = Call_{BS}(T,K,\sigma_I(T,K)). $$
Pero sólo hay un número finito de strikes y vencimientos disponibles en cualquier mercado, por lo que sólo se obtiene un número finito de volatilidades implícitas $\sigma_I(T_i,K_j)$ . En lugar de una superficie completa, sólo tienes una nube de puntos. Hay un número infinito de superficies que pasan por estos puntos y cada una de ellas corresponde a una familia diferente de distribuciones marginales para su proceso de precios $(S_T)$ (al menos si la superficie no satisface ninguna condición de arbitraje).
Por lo tanto, para obtener una superficie real hay que interpolar/extrapolar entre puntos y asegurarse de que la superficie que se obtiene está libre de arbitraje. Esto no es fácil porque la condición de mariposa $\partial^2_{KK} C(T,K) \geq 0$ (convexidad del pago de la compra = positividad de una mariposa) se traducen en una desigualdad diferencial de segundo orden para la volatilidad implícita. Esto impone restricciones estrictas y no explícitas a su procedimiento de interpolación. Por ello, los practicantes prefieren partir de una parametrización que esté libre de arbitraje por diseño y luego tratar de ajustarla a la nube de puntos de volatilidad implícita.
Para más detalles, véase "Arbitrage Free Implied Volatility Surfaces" de M. Roper http://www.maths.usyd.edu.au/u/pubs/publist/preprints/2010/roper-9.pdf
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¿En qué se diferencia esto de la calibración que, en algunos círculos, se ha llamado la nueva alquimia? quant.stackexchange.com/questions/33744/