Simulación de GBM

Question

Tengo una pregunta sobre la simulación de un GBM. He encontrado preguntas similares aquí, pero no hay nada que haga referencia a mi problema específico:

Dado un GBM de la forma

$dS(t) = \mu S(t) dt + \sigma S(t) dW(t)$

es claro que esta EDO estocástica tiene una solución en forma cerrada en

$S(t) = S(0) exp ([\mu - \frac{1}{2}\sigma^2]t + \sigma W(t))$

para un dado $S(0)$.

Ahora, he encontrado fuentes que afirman que para simular toda la trayectoria del GBM, es necesario convertirlo a su forma discreta (por ejemplo, una pregunta similar aquí o Iacus: "Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations", 62f.). Sin embargo, en Glasserman: "Monte Carlo Methods in Fin. Eng.", p. 94, encuentro que

$S(t_{i+1}) = S(t_i) exp ([\mu - \frac{1}{2}\sigma^2](t_{i+1}-t_i) + \sigma\sqrt{t_{i+1}-t_i} Z_{i+1})$

donde $i=0,1,\cdots, n-1$ y $Z_1,Z_2,\cdots,Z_n$ son normales estándar independientes es un método exacto (es decir, no tiene error de aproximación por la discretización).

Realmente no entiendo cuál es la diferencia entre los dos, o dicho de otra manera, si el método exacto me permite simular toda la trayectoria, ¿por qué me molestaría en convertirlo a la forma discreta?

Tal vez solo no estoy viendo el punto aquí, pero estoy realmente confundido y agradecido por cualquier ayuda!

Answer 1

Para ser completos, vamos a reiterar que el caso discreto es así:

$$\Delta S_t = S_{t+\Delta t}- S_t = \mu S_t \Delta t + \sigma S_t \sqrt{\Delta t} Z_t $$

con $Z_t \sim \mathcal{N}(0,1)$

Lo que estás haciendo en tu caso es usar la solución exacta de la EDP para modelar el movimiento entre dos puntos de $S$.

Esencialmente, estás haciendo lo mismo con los 2 enfoques.

De hecho, si eliges un $\Delta t$ lo suficientemente pequeño, casi no habrá diferencia.

Tu pregunta puede ser revertida: si simplemente puedes simular el camino usando la versión discreta, ¿por qué te importaría resolver la EDP para obtener la fórmula en forma cerrada?

Answer 2

Nota: Hay un error tipográfico en tus terceras ecuaciones. En lugar de $S(u)$ debería ser $S(t_{i})$ y en lugar de $S(t)$ debería ser $S(t_{i+1})

De hecho, dado $S(t_{i})$ tenemos que

$$S(t_{i+1}) = S(t_{i}) \exp\left( (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) (t_{i+1} - t_{i}) + \sigma (W(t_{i+1}) - W(t_{i})) \right)$$

es la solución exacta del SDE. Por lo tanto, la discretización es exacta (lo cual es un caso especial aquí).

Nota que $W(t_{i+1})$ no es independiente de $W(t_{i})$ pero $W(t_{i+1})-W(t_{i})$ es independiente de $W(t_{i})-W(t_{i-1})$. Así que para simular los puntos discretos $S(t_{j})$ para diferentes $j$, utilizas la representación anterior con la variable aleatoria i.i.d. $Z_{j}$ con $W(t_{j})-W(t_{j-1}) = \sqrt{t_{j}-t_{j-1}} Z_{j}$ y no la representación

$$S(t_{i+1}) = S(0) \exp\left( (\mu - \frac{1}{2} \sigma^2) t_{i+1} + \sigma W(t_{i+1}) \right)$$.