Es el precio de la opción put Europea monotonía en la volatilidad, si reemplazamos la BM de Black-Scholes con un general Levy proceso?

Question

Bajo el modelo Black-Scholes, tenemos el Europeo de la opción de venta es de $\mathbb{E} [e^{-rt}(K-S_t)]$, donde tenemos $\log(S_t)=X_t$ y $dX_t= \sigma dW_t - \dfrac{1}{2}\sigma^2 dt + rdt$. Aquí el precio de la opción es monotono en $\sigma$.

Para mostrar esto podemos recurrir a la fórmula Black-Scholes. aunque no hay una forma más fácil, que apelar directamente a la Gaussianidad de $\log (S_t)$, el hecho de que una variable aleatoria Gaussiana puede ser escrita como una suma de dos variables aleatorias Gaussianas, y utiliza condicional de la desigualdad de Jensen. Este truco que incluso el trabajo, incluso si trabajamos con volatilidad estocástica, siempre y cuando la volatilidad es impulsado por un proceso independiente del Movimiento Browniano.

Sin embargo, este truco falla al instante nos reemplazar $W_t$ con otro Levy proceso y reemplazar $\dfrac{1}{2}\sigma^2$ con el registro del momento de generación de la función de la recaudación del proceso.

Mi pregunta es, supongamos que vamos a reemplazar el $W_t$ por un general Levy proceso. sería esta siendo cierto? ¿existe alguna literatura sobre este tema. El intestino sensación es que sí, pero no he logrado probar esto a mí mismo. ¿Alguien sabe alguna literatura escrita sobre este tema?

EDIT: Como Cristiano señaló, la volatilidad en realidad, no es una palabra apropiada para su uso aquí. Lo que realmente quiero decir es que, es el precio de la monotonía en $\sigma$?

Answer 1

Has comprobado el papel por Merton a partir de la década de los setenta? Él da el precio de una opción como una serie infinita (eq. 16), en el cual cada término parece monótono en $\sigma$.

Answer 2

Estoy bastante seguro de que no es monótona-considere el siguiente argumento:

Un impuesto proceso es descomponible en una suma de browniano movimientos, saltar y procesos procesos de poisson. Considere un caso en el que la distribución de poisson componente es la conducción de precio a cero $\left(\log(S) \rightarrow -\infty\right)$, con una certeza casi absoluta, haciendo que el valor de la opción cerca de su valor intrínseco. La adición de una alta volatilidad del movimiento browniano va a empezar a poner más probabilidad de supervivencia, disminuyendo el valor de la opción.

Lo clave aquí es que, viendo un impuesto proceso como la suma de dos procesos complejos, podemos arquitecto de la interacción entre ellos para obtener un comportamiento patológico.

Answer 3

De hecho, me discutir esta cuestión en detalle en el capítulo 1 de Más Matemáticas de las Finanzas.

El punto esencial es que si usted puede escribir $$ X=YZ $$ con $Y,Z$ independiente $E(Z)=1$ y $Z>0$ entonces $X$ es más incierto de $Y.$ entonces se sigue de la desigualdad de Jensen que el precio de una opción en $X$ que tiene un convexo de pago será al menos tan alta como la misma opción en $Y.$